오사카대 2021-1(이과)

 

 

 

 

$ab<1$을 만족하는 양의 실수 $a,b$에 대해 점 $P(a,b)$에서 곡선 $y=\frac{1}{x}$ $(x>0)$에 그은 두 접선의 교점을 각각 $Q(s,\frac{1}{s}),R(t,\frac{1}{t})$이라고 하자. $(s<t)$

 

1) $s,t$를 $a,b$로 나타내어라.

2) 점 $P(a,b)$가 곡선 $y=\frac{9}{4}-3x^2$의 $x>0,y>0$ 부분 위를 움직일 때, $\frac{t}{s}$의 최솟값과 그 때의 $a,b$의 값을 구하여라.

 

---

 

 

생각해보기)

 

2) $\frac{t}{s}$를 정리 할 때, 루트 부분 전체를 치환하는 과정이 가장 중요하다고 생각한다. 자칫 처음 형태에서 분모의 유리화를 하는 식으로 진행해버리면, 나눗셈의 미분법을 증감표를 작성할 수 있을진 몰라도 계산이 만만치 않을 것 같다. (필자는 해보지 않아서 잘 모르겠음) 조금 복잡하다싶은 미분을 해야될 경우엔 적절히 치환해서 처리하는 습관을 들이면 좋을 것 같다. ( 물론 치환시에 범위 체크는 필수)

 

 

 

풀이)

 

1) $y=\frac{1}{x}$ 위의 한 점 $(t,\frac{1}{t})$에서의 접선의 방정식은

$$y=-\frac{1}{t^2}(x-t)+\frac{1}{t}$$

$$y=-\frac{x}{t^2}+\frac{2}{t}$$

이고 점 $P(a,b)$를 지나기 때문에,

$$b=-\frac{a}{t^2}+\frac{2}{t}$$

$$b{t}^2-2t+a=0$$

$ab<1$이므로 근의 공식에 의해,

$$s=\frac{1-\sqrt{1-ab}}{b}t=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{b}$$

 

 

2) 1)로 부터

$$\frac{t}{s}=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{1-\sqrt{1-ab}}=\frac{1+X}{1-X}$$

$X=\sqrt{1-ab}$로 치환했고, $b=\frac{9}{4}-3a^2$이므로

$$X=\sqrt{1-a(\frac{9}{4}-3a^2)}=\sqrt{3a^3-\frac{9}{4}a+1}$$

$a,b>0$로 부터 $\frac{9}{4}-3a^2>0$이고, $a$의 범위 $0<a<\frac{\sqrt{3}}{2}$를 얻는다.

$f(a)=3a^3-\frac{9}{4}a+1$이라 하고 미분해서 증감표를 알아보자.

$f^{\prime }(a)=9a^2-\frac{9}{4}=9(a+\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})$

$$\begin{array}{cccccc}a& 0& \cdots & \frac{1}{2}& \cdots & \frac{\sqrt{3}}{2}\\ f^{\prime }(a)& & -& 0& +& \\ f(a)& 1& \searrow & \frac{1}{4}& \nearrow & 1\end{array}$$

$0<a<\frac{\sqrt{3}}{2}$에서 $\frac{1}{4}\le f(a)<1$이고 $X=\sqrt{f(a)}$이므로  $\frac{1}{2}\le X<1$이다.

이제 $\frac{t}{s}=g(X)$라고 하자.

$$g(X)=\frac{1+X}{1-X}=\frac{2}{1-X}-1g^{\prime }(X)=\frac{2}{(1-X{)}^2}$$

$$\begin{array}{cccc}X& \frac{1}{2}& \cdots & 1\\ g^{\prime }(X)& & +& \\ g(X)& 3& \nearrow & \end{array}$$

 

$g(X)$의 최솟값은 $X=\frac{1}{2}$일 때의 3이다. 그리고 $X=\frac{1}{2}$일 때의 $a=\frac{1}{2}$이고 $b=\frac{9}{4}-3\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$이다.

$\therefore$ $\frac{t}{s}$는 $a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{2}$일 때 최솟값 3을 가진다.