오사카대 2021-1(이과)

 

 

 

 

$ab<1$을 만족하는 양의 실수 $a,b$에 대해 점 $P(a,b)$에서 곡선 $y=\cfrac{1}{x}$ $(x>0)$에 그은 두 접선의 교점을 각각 $Q\left(s,\cfrac{1}{s}\right),R\left(t,\cfrac{1}{t}\right)$이라고 하자. $(s<t)$

 

1) $s, t$를 $a, b$로 나타내어라.

2) 점 $P(a,b)$가 곡선 $y=\cfrac{9}{4}-3x^2$의 $x>0, y>0$ 부분 위를 움직일 때, $\cfrac{t}{s}$의 최솟값과 그 때의 $a,b$의 값을 구하여라.

 

---

 

 

생각해보기)

 

2) $\cfrac{t}{s}$를 정리 할 때, 루트 부분 전체를 치환하는 과정이 가장 중요하다고 생각한다. 자칫 처음 형태에서 분모의 유리화를 하는 식으로 진행해버리면, 나눗셈의 미분법을 증감표를 작성할 수 있을진 몰라도 계산이 만만치 않을 것 같다. (필자는 해보지 않아서 잘 모르겠음) 조금 복잡하다싶은 미분을 해야될 경우엔 적절히 치환해서 처리하는 습관을 들이면 좋을 것 같다. ( 물론 치환시에 범위 체크는 필수)

 

 

 

풀이)

 

1) $y = \cfrac{1}{x}$ 위의 한 점 $(t, \cfrac{1}{t})$에서의 접선의 방정식은

$$y=-\cfrac{1}{t^2}(x-t)+\cfrac{1}{t}$$

$$y=-\cfrac{x}{t^2}+\cfrac{2}{t}$$

이고 점 $P(a,b)$를 지나기 때문에,

$$b=-\cfrac{a}{t^2}+\cfrac{2}{t}$$

$$bt^2-2t+a=0$$

$ab<1$이므로 근의 공식에 의해,

$$s =\cfrac{1-\sqrt{1-ab}}{b}\quad t =\cfrac{1+\sqrt{1-ab}}{b}$$

 

 

2) 1)로 부터

$$\cfrac{t}{s}=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{1-\sqrt{1-ab}}=\cfrac{1+X}{1-X}$$

$X = \sqrt{1-ab}$로 치환했고, $b=\cfrac{9}{4}-3a^2$이므로

$$X = \sqrt{1-a\left(\cfrac{9}{4}-3a^2\right)}=\sqrt{3a^3-\cfrac{9}{4}a+1}$$

$a, b>0$로 부터 $\cfrac{9}{4}-3a^2>0$이고, $a$의 범위 $0<a<\cfrac{\sqrt3}{2}$를 얻는다.

$f(a) = 3a^3 -\cfrac{9}{4}a+1$이라 하고 미분해서 증감표를 알아보자.

$f'(a) = 9a^2 -\cfrac{9}{4}=9\left(a+\cfrac{1}{2}\right)\left(a-\cfrac{1}{2}\right)$

$$ \begin{array}{c|ccccc} a& 0 & \cdots & \cfrac{1}{2}& \cdots &\cfrac{\sqrt3}{2} \\ \hline f'(a)& & - & 0 & + & \\ \hline f(a)& 1 & \searrow & \cfrac{1}{4} & \nearrow & 1 \end{array} $$

$0<a<\cfrac{\sqrt3}{2}$에서 $\cfrac{1}{4} \leq f(a) < 1$이고 $X=\sqrt{f(a)}$이므로  $\cfrac{1}{2} \leq X < 1$이다.

이제 $\cfrac{t}{s} =g(X)$라고 하자.

$$g(X) = \cfrac{1+X}{1-X}=\cfrac{2}{1-X}-1 \quad g'(X)=\cfrac{2}{(1-X)^2}$$

$$ \begin{array}{c|ccc} X& \cfrac{1}2 & \cdots & 1 \\ \hline g'(X)& & + &  \\ \hline g(X)& 3 & \nearrow &  \end{array} $$

 

$g(X)$의 최솟값은 $X=\cfrac{1}{2}$일 때의 3이다. 그리고 $X=\cfrac{1}{2}$일 때의 $a=\cfrac{1}{2}$이고 $b=\cfrac{9}{4}-3 \cdot \cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{2}$이다.

$\therefore$ $\cfrac{t}{s}$는 $a=\cfrac{1}{2}, b=\cfrac{3}{2}$일 때 최솟값 3을 가진다.