교토대 2021-1(이과)

 

 

 

 

1) 공간상의 세 점 $A(1,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,2)$을 지나는 평면 $\alpha$에 대해 점 $P(1,1,1)$와 대칭인 점 $Q$의 좌표를 구하여라.

2) 빨간색, 흰색, 파란색, 노란색의 구슬이 1개씩 들어있는 상자가 있다. 하나를 뽑아서 기록한 뒤 다시 상자에 넣는다. $n$번째에 최초로 빨간색 구슬이 나왔고, 그 때 나머지 색은 모두 기록되어 있을 확률을 구하여라.

 

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생각해보기)

 

1), 2) 모두 교과서에 나옴직한 문제로 보인다. 어려운 문제를 해결하는 능력도 가지면 좋지만, 무엇보다도 기본문제들을 망설임없이 풀어내는 능력이 우선 되어야 한다고 생각한다.

 

 

 

 

풀이)

 

1) 

 

먼저 구하고자 하는 점 $Q$의 좌표를 $(p,q,r)$이라 하자. 문제의 가정으로 부터 $\overrightarrow{PQ}$는 $\overrightarrow{BA},  \overrightarrow{BC}$와 각각 수직이다. 이를 식으로 나타내면,

$$(p-1, q-1, r-1) \cdot (1, 1, 0) = 0 , \quad (p-1, q-1, r-1) \cdot (0, 1, 2) = 0$$

정리하면 $q = -2r + 3$ , $p = 2-q=2r-1$이되어 점 $Q$의 좌표를 한 문자 $r$에 대해 표현할 수 있다. $(Q(2r-1,-2r+3, r))$

이제 두 점 $P, Q$의 중점 $M(r, -r+2, \cfrac{r+1}{2})$은 평면 $\alpha$ 위의 점이므로,

$$\overrightarrow{BM} = a \overrightarrow{BA} + b\overrightarrow{BC}$$

를 만족하는 두 실수 $a, b$가 존재한다. 위 식을 좌표로 풀어써보면,

$$(r, -r+2, \cfrac{r+1}{2})=a(1,1,0)+b(0,1,2)=(a,a+b,2b)$$

여기서 나오는 세 등식을 연립하면,

$a = r, b= -a-r+3=-2r+3$, 그리고 $\cfrac{r+1}{2}=2b$로 부터 $r = \cfrac{11}{9}$를 얻는다.

$\therefore Q(\cfrac{13}{9}, \cfrac{5}{9}, \cfrac{11}{9})$이다.

 

 

 

2)

 

$n$번 째에는 빨간색이 나오고, $n-1$ 번 째 까지는 흰색, 파란색, 노란색 구슬이 적어도 한 번씩은 나와야 한다.

우리가 조심해야될 부분은 $n-1$번 째 까지 1가지색 또는 2가지색 구슬만 나오는 경우이다.

 

먼저 $n-1$까지 1가지색 구슬만 나오는 경우는 3가지.

 

$n-1$까지 2가지색 구슬만 나오는 경우에 먼저, 두 가지 색을 뽑는 경우의 수는 $_3C_2=3$. 결정된 2가지 색이 $n-1$번 나오는 경우는 $2^{n-1}-2$로 곱하면 $3(2^{n-1}-2)$가지 이다.

 

위의 2가지 경우를 전체 경우의 수인 $3^{n-1}$에서 빼주면, 

$$3^{n-1}-3(2^{n-1}-2)-3=3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3$$

 

따라서 구하고자 하는 확률은, 

$$\cfrac{3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3}{4^n}$$