교토대 2021-3(문과)

 

 

 

 

2이상의 정수 $n$에 대해, 1부터 $n$까지의 번호가 적힌 $n$개의 상자에 빨간 구슬과 하얀 구슬이 각각 1개씩 들어있다. 이제 $k=1, \cdots, n-1$에 대해 다음 시행 $(\star)$을 실시하자.

 

$(\star)$ 번호 $k$의 상자에서 구슬을 1개 꺼내 번호 $k+1$의 상자에 넣고 잘 섞는다. 

 

마지막으로 번호 $n$의 상자에서 구슬을 1개 꺼내 번호 1의 상자에 넣는다. 이 때 번호 1의 상자에 빨간 구슬 1개와 하얀 구슬 1개가 들어 있을 확률을 구하여라.

 

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생각해보기)

 

$k$번 째 시행 후 $k+1$번째 상자에 있는 구슬은 항상 빨빨흰 or 빨흰흰 이다. 그리고 우리의 목표는 1번 상자에서 뽑은 구슬의 색과 $n$번 상자에서 뽑은 구슬의 색이 같을 확률이다. 항상 목표를 명심한 뒤 문제풀이에 있어 필요한 확률을 정의해야 한다.

 

 

 

 

 

풀이)

 

1번 상자에서 뽑은 구슬의 색과 $k$번째 상자에서 뽑은 구슬의 색이 같을 확률을 $p_k$, 다를 확률을 $q_k$라 하자.

여기서 우리가 구하는 것은 $p_n$이고, 모든 $k$에 대해 $p_k+q+k=1$이다.

 

$p_{k+1} = p_k \times \cfrac{2}{3} + q_k \times \cfrac{1}{3}$

= $p_k \times \cfrac{2}{3} + (1-p_k) \times \cfrac{1}{3}$

= $\cfrac{1}{3}p_k +\cfrac{1}{3}$

$p_{k+1} -\cfrac{1}{2} = \cfrac{1}{3}\left(p_k -\cfrac{1}{2}\right)$

$\therefore p_n - \cfrac{1}{2} = \left(\cfrac{1}{3}\right)^{n-1}\left(p_1-\cfrac{1}{2}\right)=\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{1}{3}\right)^{n-1} \quad (\because p_1 = 1)$

$\therefore p_n = \cfrac{1}{2}\bigg\{1+\left(\cfrac{1}{3}\right)^{n-1}\bigg\}$