교토대 2021-1(문과)

 

 

 

(1)  6.75를 2진법을 나타내고, 그 수와 ${101.0101}_{(2)}$의 곱을 2진법, 4진법으로 표현하여라.

 

(2) $OA=3$, $OB=2$, $\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$인  $\mathrm{△}OAB$가 있다. $\mathrm{△}OAB$의 수심 $H$에 대해, $\overrightarrow{OH}$를 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$로 표현하여라.

 

---

 

생각해보기)

 

(1) 사실 이진법 수 끼리의 곱셈도 가능은 하지만, 필연적으로 수의 길이자체가 길어지고 올림을 하는과정에서 실수할 요인이 많다고 생각된다. 우리에게 친숙한 십진법으로 바꾸어서 해결하는게 안전하지 않을까 ? 게다가 정수부분과 분수부분을 나눠서 계산하면 나중에 다시 이진법이나 사진법으로 변환하기가 좀 더 수월할 것 같다.

 

(2)흔한 문제에 대한 정석적인 풀이이다. 아래에 언급해둔 메넬라오스 정리까지 알아두면 도움이 될 것 같다. ( 알면 손해는 아니라는 소리일 뿐 필자는 정석적인 풀이를 먼저 마스터하는게 순서라고 생각한다.)

 

 

 

풀이)

 

(1)

$6.75=2^2+2^1+2^{-1}+2^{-2}$이므로 6.75의 이진법은 ${110.11}_{(2)}$이다.

이진수 $101.0101$의 10진법 표기법은 $2^2+2^0+2^{-2}+2^{-4}=5+\frac{5}{16}$이므로, 

$$(6+\frac{3}{4})\times (5+\frac{5}{16})=35+\frac{55}{64}$$

$35=2^5+2^1+2^0,55=2^5+2^4+2^2+2^1+2^0$, $64=2^6$이므로 곱의 이진법은 ${100011.110111}_{(2)}$이고,

$35=2\cdot 4^2+3\cdot 4^0,55=3\cdot 4^2+1\cdot 4^1+3\cdot 4^0$, $64=4^3$이므로 사진법은 ${203.313}_{(4)}$이다.

 

 

(2)

위 그림과 같이 직선 $AH$가 선분 $OB$와 만나는 점을 $D$라 하고, 편의상 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$라 하자.

$OD=3\cos {60}^{\circ }=\frac{3}{2}$, $OE=2\cos {60}^{\circ }=1$ 이므로

$\overrightarrow{OD}=\frac{3}{4}\overrightarrow{b},\overrightarrow{OE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$이다.

여기서 $AH:HD=s:1-s$, $BH:HE=t:1-t$라 하면,

$$\overrightarrow{OH}=(1-s)\overrightarrow{a}+\frac{3s}{4}\overrightarrow{b},\overrightarrow{OH}=\frac{t}{3}\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}$$

로 나타낼 수 있다. 연립해서 $s$를 구하면 $s=\frac{8}{9}$이 되고,  $\overrightarrow{OH}=\frac{1}{9}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$ 이다.

 

(2)의 별해 

 

$\mathrm{△}OBE$와 한 직선 위에 있고 삼각형의 각 직선과 만나는 세 점 $D,H,A$에 대해 메넬라오스 정리를 쓰면 다음이 성립한다.

$$\frac{HE}{HB}\cdot \frac{DB}{DO}\cdot \frac{AO}{AE}=1$$

$HB,HE$외의 네 선분의 길이는 알고 있다. 정리하면 $2HB=HE$, 즉 $HB:HE=1:2$ 임을 알 수 있다. 이제,

$$\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{9}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$$

이다.