도쿄대 2019-2(문과)

 

 

 

 

 

좌표평면에서 점 $A(2,2)$를 지나고 선분 $OA$에 수직인 직선을 $l$이라고 하자. 점 $P(p,q)$가 다음의 두 조건을 만족시키면서 움직인다.

조건 1 : $8\le \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}\le 17$
조건 2 : 점 $O$와 직선 $l$의 거리를 $c$, 점 $P(p,q)$와 직선 $l$의 거리를 $d$라고 할 때, $cd\ge (p-1{)}^2$

이때, $P$가 움직인 영역을 $D$, $x$축의 양의 방향과 선분 $OP$가 이루는 각도를 $\theta$라 하자.


(1) $D$를 나타내고, 그 넓이를 구하여라.
(2) $\cos \theta$의 범위를 구하여라. 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

문제가 길긴하지만, 각각의 조건이 주는 식 자체는 간단하다. 중요한 포인트는 조건 2의 거리 조건에서 발생한 절댓값 기호를 없애는 부분이다. 조건 1을 잘 이용해서 그 부분만 잘 해결하면, 부등식의 영역을 그릴 수 있을 것이다.

 

(2)의 경우는 (1)에서 그린 그래프로 부터 어렵지 않게 추론해 낼 수 있다.

 

 

 

 

풀이

 

 

(1)

조건 1은 $$\begin{array}{rl}& 8\le \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}\le 17\\ & 8\le 2p+2q\le 17\\ & 4\le p+q\le \frac{17}{2}\end{array}$$ $$-p+4\le q\le -p+\frac{17}{2}$$

과 동치이다. 

 

기울기가 -1이고 $A(2,2)$를 지나는 직선 $l$의 방정식은 $$l:y=-x+4$$이다. 점 $O$와 직선 $l$ 사이의 거리는 선분 $OA$의 길이와 같기 때문에 $c=2\sqrt{2}$이고, 점 $P$와 직선 $l$ 사이의 거리는, $$\frac{|p+q-4|}{\sqrt{2}}$$이다. 따라서 조건 2는

$$\begin{array}{rl}cd& \ge (p-1{)}^2\\ 2|p+q-4|& \ge (p-1{)}^2\end{array}$$

과 동치이다.

 

조건 1에서 $p+q\ge 4$이므로, 조건 1을 만족하는 경우에 조건 2를 다음과 같이 변형시킬 수 있다.

$$\begin{array}{rl}2(p+q-4)& \ge (p-1{)}^2\\ 2q& \ge p^2-2p+1-2p+8\\ q& \ge \frac{1}{2}{p}^2-2p+\frac{9}{2}\end{array}$$

 

이때, $-p+4=\frac{1}{2}{p}^2-2p+\frac{9}{2}$라 하면, $$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{p}^2-p+\frac{1}{2}& =0\\ (p-1{)}^2& =0\\ p& =1\end{array}$$이다.

또, $-p+\frac{17}{2}=\frac{1}{2}{p}^2-2p+\frac{9}{2}$라 하면, $$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{p}^2-p+4& =0\\ p^2-2p-8& =0\\ p& =-2,4\end{array}$$

 

따라서 영역 $D$는 아래의 색칠된 부분이다. (경계선 위의 점도 포함한다.)

 

 

$D$의 넓이는 정적분으로 계산하면,

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-2}^4\{(-p+\frac{17}{2})-(\frac{1}{2}{p}^2-2p+\frac{9}{2})\}\\ =& -\frac{1}{2}{\int }_{-2}^4(p-4)(p+2)dp\\ =& \frac{1}{2}\times \frac{(4+2{)}^3}{6}=18\end{array}$$이다.

 

 

 

 

 

 

 

(2)

포물선 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+\frac{9}{2}$와 직선 $y=mx$가 접할 경우를 생각해보자. 이때,$$\frac{1}{2}{x}^2-2x+\frac{9}{2}=mx$$ $$x^2-2(m+2)x+9=0$$ 가 중근을 가지려면, $$(m+2{)}^2-9=0m=1,-5$$이다. 따라서 접선을 그려보면,

 

 

이다. 따라서 $\theta$가 최소일 때는 점 $P$ 가 $(3,3)$에서 접하는 경우로, 이때의 $\cos \theta$값은 $\frac{1}{\sqrt{2}}$이다. $\theta$가 최대일 때는 점 $P$가 $(-2,10.5)$에서 접하는 경우로 이때의 $\cos \theta$값은 $$\frac{-2}{\sqrt{(}-2{)}^2+(10.5{)}^2}=-\frac{4}{\sqrt{457}}$$이다.

 

따라서 $\cos \theta$의 범위는 $$-\frac{4}{\sqrt{457}}\le \cos \theta \le \frac{1}{\sqrt{2}}$$이다.