도쿄대 2019-2(문과)

 

 

 

 

 

좌표평면에서 점 $A(2,2)$를 지나고 선분 $OA$에 수직인 직선을 $l$이라고 하자. 점 $P(p,q)$가 다음의 두 조건을 만족시키면서 움직인다.

조건 1 : $8\leq \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP} \leq 17$
조건 2 : 점 $O$와 직선 $l$의 거리를 $c$, 점 $P(p,q)$와 직선 $l$의 거리를 $d$라고 할 때, $cd \geq (p-1)^2$

이때, $P$가 움직인 영역을 $D$, $x$축의 양의 방향과 선분 $OP$가 이루는 각도를 $\theta$라 하자.


(1) $D$를 나타내고, 그 넓이를 구하여라.
(2) $\cos \theta$의 범위를 구하여라. 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

문제가 길긴하지만, 각각의 조건이 주는 식 자체는 간단하다. 중요한 포인트는 조건 2의 거리 조건에서 발생한 절댓값 기호를 없애는 부분이다. 조건 1을 잘 이용해서 그 부분만 잘 해결하면, 부등식의 영역을 그릴 수 있을 것이다.

 

(2)의 경우는 (1)에서 그린 그래프로 부터 어렵지 않게 추론해 낼 수 있다.

 

 

 

 

풀이

 

 

(1)

조건 1은 $$\begin{align} &8 \leq \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP} \leq 17 \\ &8 \leq 2p+2q \leq 17\\&4\leq p+q \leq \frac{17}{2} \end{align}$$ $$-p+4 \leq q \leq -p +\cfrac{17}{2}$$

과 동치이다. 

 

기울기가 -1이고 $A(2,2)$를 지나는 직선 $l$의 방정식은 $$l:y=-x+4$$이다. 점 $O$와 직선 $l$ 사이의 거리는 선분 $OA$의 길이와 같기 때문에 $c=2\sqrt2$이고, 점 $P$와 직선 $l$ 사이의 거리는, $$\cfrac{|p+q-4|}{\sqrt2}$$이다. 따라서 조건 2는

$$\begin{align} cd &\geq (p-1)^2\\2|p+q-4|&\geq (p-1)^2 \end{align}$$

과 동치이다.

 

조건 1에서 $p+q \geq 4$이므로, 조건 1을 만족하는 경우에 조건 2를 다음과 같이 변형시킬 수 있다.

$$\begin{align} 2(p+q-4)&\geq (p-1)^2\\2q&\geq p^2-2p+1-2p+8\\q&\geq \cfrac{1}{2}p^2-2p+\cfrac{9}{2}\end{align}$$

 

이때, $-p+4=\cfrac{1}{2}p^2-2p+\cfrac{9}{2}$라 하면, $$\begin{align} \cfrac{1}{2}p^2-p+\cfrac{1}{2}&=0\\(p-1)^2&=0\\p&=1 \end{align}$$이다.

또, $-p+\cfrac{17}{2}=\cfrac{1}{2}p^2-2p+\cfrac{9}{2}$라 하면, $$\begin{align} \cfrac{1}{2}p^2-p+4&=0\\p^2-2p-8&=0\\p&=-2,4 \end{align}$$

 

따라서 영역 $D$는 아래의 색칠된 부분이다. (경계선 위의 점도 포함한다.)

 

 

$D$의 넓이는 정적분으로 계산하면,

$$\begin{align}& \int_{-2}^4\left \{ \left( -p+\cfrac{17}{2}\right)-\left(\cfrac{1}{2}p^2-2p+\cfrac{9}{2}\right)\right\}\\=&-\cfrac{1}{2}\int_{-2}^{4}(p-4)(p+2)dp\\=&\cfrac{1}{2}\times\cfrac{(4+2)^3}{6}=18 \end{align}$$이다.

 

 

 

 

 

 

 

(2)

포물선 $y=\cfrac{1}{2}x^2-2x+\cfrac{9}{2}$와 직선 $y=mx$가 접할 경우를 생각해보자. 이때,$$\cfrac{1}{2}x^2-2x+\cfrac{9}{2}=mx$$ $$x^2-2(m+2)x+9=0$$ 가 중근을 가지려면, $$(m+2)^2-9=0 \qquad m=1,-5$$이다. 따라서 접선을 그려보면,

 

 

이다. 따라서 $\theta$가 최소일 때는 점 $P$ 가 $(3,3)$에서 접하는 경우로, 이때의 $\cos \theta$값은 $\cfrac{1}{\sqrt 2}$이다. $\theta$가 최대일 때는 점 $P$가 $(-2,10.5)$에서 접하는 경우로 이때의 $\cos \theta$값은 $$\cfrac{-2}{\sqrt(-2)^2+(10.5)^2}=-\cfrac{4}{\sqrt {457}}$$이다.

 

따라서 $\cos \theta$의 범위는 $$-\cfrac{4}{\sqrt{457}} \leq \cos \theta \leq \cfrac{1}{\sqrt 2}$$이다.