오사카대 2020-4(이과)

 

 

 

 

 

양의 실수 $t$에 대해, 아래 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 $S(t)$라고 하자.
$$x \geq 0,\quad y\geq 0 , \quad xy \leq 1 ,\quad x+y \leq t$$
이때, $\displaystyle\lim _{t \to \infty}(S(t)-2\log t )$를 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

우리나라 학생들에게 여전히 낯선 부등식의 영역 문제이다. $t$의 값에 따라 생기는 영역의 모습이 변할까봐 고민하지말자. 어짜피 구하는 극한값은 한없이 큰 $t$에  극한값이므로, 적당히 크고 일반적인 $t$에 대한 그래프의 개형에서 출발하면 충분하다.

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

$t>2$에 대해, 주어진 부등식의 영역을 나타낸 그래프는 아래와 같다.

 

 

 

먼저 영역의 경계인 두 식 $xy=1$과 $x+y=t$를 연립하면, 

$$x(t-x)=1, \quad x^2 -tx+1=0$$

에서 두 근을 $\alpha , \beta (\alpha < \beta)$라 하면, 

$$ \alpha=\cfrac{t-\sqrt{t^2-4}}{2},  \beta=\cfrac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}$$

이다. 이때, 영역의 넓이 $S(t)$는

$$\begin{align} S(t)&=\frac{1}{2}t^2-\int_{\alpha}^{\beta}(t-x-\frac{1}{x})dx\\&=\frac{1}{2}t^2-t(\beta-\alpha)+\frac{1}{2}(\beta ^2 - \alpha ^2)+\log{\beta}+\log{\alpha}\\&=\frac{1}{2}t^2-t\sqrt{t^2-4}+\frac{1}{2}t\sqrt{t^2-4}+\log{\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{t-\sqrt{t^2-4}}}\\&=\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}t\sqrt{t^2-4}+\log{\frac{(t+\sqrt{t^2-4})^2}{4}}\\&=\frac{1}{2}t(t-\sqrt{t^2-4})+2\log{\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}}\end{align}$$

이다. 이제, $S(t)-2\log t=\cfrac{1}{2}t(t-\sqrt{t^2-4})+2\log{\cfrac{t+\sqrt{t^2-4}}{2t}}$이므로,

 

$$\begin{align} \lim_{t \to \infty}(S(t)-2\log t)&=\lim_{t \to \infty}\left(\cfrac{1}{2}t\cdot \cfrac{4}{t+\sqrt{t^2-4}}+2\log{\cfrac{t+\sqrt{t^2-4}}{2t}}\right)\\&=\lim_{t \to \infty}\left(\cfrac{2}{1+\sqrt{1 - \frac{4} {t^2}}}+2\log{\cfrac{1+\sqrt{1 - \frac{4}{t^2}}}{2}}\right)\\&=1 \end{align}$$