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본고사

오사카대 2020-5(이과)

후플 2021. 9. 22. 19:51

 

 

 

 

 

세 변의 길이의 합이 2인 삼각형 ABC에 대해 변 BC의 길이를 a, 변 CA의 길이를 b라 하자. 삼각형 ABC를 변 BC를 축으로하여 1회전 시킨 입체의 부피를 V라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1)  a를 고정하고 b를 변화시킬 때, V가 최대가 되는 순간은 삼각형 ABC가 밑변을 BC로 하는 이등변삼각형일 때임을 보이시오.

(2) a, b를 동시에 변화시킬 때, V의 최댓값과 그 때의 a, b를 각각 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

삼각형이 나오는 기본 기하 문제에서는 반드시 삼각형의 결정조건을 짚고 넘어가야 한다. 삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라 할 때, 삼각형의 결정조건은 a<b+cb<a+cc<b+a이다. 이때, 세 개의 부등식을 따로따로 생각하기 보다 하나로 식으로 만들면 보기 편한 경우가 많다. 즉, 앞의 두 부등식에서 ba를 각각 좌변으로 이항 시키면, ab<cba<c에서 |ab|<c가 된다. 여기에 세 번째 부등식을 합쳐주면, |ab|<c<a+b로 쓸 수 있다.

 

 

 

풀이

 

 

(1)

ABC에 대해 BC=a, CA=b, AB=c라 하자.

a+b+c=2 와 삼각형의 결정조건인 |bc|<a<b+c로 부터,

|a+2b2|<a<2a 가 성립한다.

이 부등식을 나눠서 풀면, a<a+2b2<a,   a<2a에서,

0<a<1,1a<b<1()

이다.

 

a0<a<1에서 고정하고, b1a<b<1에서 변화시켜가면, b+c=2a,AC+AB=2a

즉, 점 A의 자취는 점 B,C를 두 초점으로 하는 타원이 된다.

 

 

이때, 장축의 길이를 2p라 하면 2p=2a에서 p=1a2이고, 단축의 길이를 2q라 하면, q=(1a2)2(a2)2=1a

 

이제 BC를 축으로 1회전 시킨 도형의 부피를 구하기 위해, A에서 BC에 내린 수선의 발 H를 생각하자.

 

 

B, C 둘 다 예각인 경우,

AH=h, CH=x라 하면, 

V=13πh2(ax)+13πh2x=13πh2a

 

B, C 중 하나가 둔각인 경우,

AH=h, CH=x라 하면, 

V=13πh2(a+x)13πh2x=13πh2a

 

 

①,② 의 경우에 관계없이, V=13πh2a가 성립한다.

 

따라서, V가 최대이려면 h=AH가 최대이어야 하고, 이는 A가 타원의 단축에 위치할 경우이다. 따라서 이 경우 ABC는 밑변을 BC로 하는 이등변삼각형이 된다. 또, 이 경우 a+2b=2에서 b=1a2이므로 ()의 조건도 만족함을 알 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

(1)에서 고정된 a에 대해 V가 최대인 경우는 h=q=1a일 때임을 살펴보았다. 따라서, 

V=13π(1a)a=13π(a2+a)=13π{(a12)2+14}

여기서 a의 범위는 0<a<1이므로, Va=12 (b=34)일 때 최댓값 π12를 가진다.

 

 

 

 

 

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