오사카대 2020-5(이과)

 

 

 

 

 

세 변의 길이의 합이 2인 삼각형 $ABC$에 대해 변 $BC$의 길이를 $a$, 변 $CA$의 길이를 $b$라 하자. 삼각형 $ABC$를 변 $BC$를 축으로하여 1회전 시킨 입체의 부피를 $V$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1)  $a$를 고정하고 $b$를 변화시킬 때, $V$가 최대가 되는 순간은 삼각형 $ABC$가 밑변을 $BC$로 하는 이등변삼각형일 때임을 보이시오.

(2) $a$, $b$를 동시에 변화시킬 때, $V$의 최댓값과 그 때의 $a$, $b$를 각각 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

삼각형이 나오는 기본 기하 문제에서는 반드시 삼각형의 결정조건을 짚고 넘어가야 한다. 삼각형의 세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라 할 때, 삼각형의 결정조건은 $$a<b+c \qquad b<a+c \qquad c<b+a$$이다. 이때, 세 개의 부등식을 따로따로 생각하기 보다 하나로 식으로 만들면 보기 편한 경우가 많다. 즉, 앞의 두 부등식에서 $b$와 $a$를 각각 좌변으로 이항 시키면, $$a-b<c \qquad b-a<c$$에서 $$|a-b|<c$$가 된다. 여기에 세 번째 부등식을 합쳐주면, $$|a-b|<c<a+b$$로 쓸 수 있다.

 

 

 

풀이

 

 

(1)

$\triangle ABC$에 대해 $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$라 하자.

$a+b+c=2$ 와 삼각형의 결정조건인 $|b-c|<a<b+c$로 부터,

$|a+2b-2|<a<2-a$ 가 성립한다.

이 부등식을 나눠서 풀면, $-a<a+2b-2<a$,   $a<2-a$에서,

$$0<a<1, \qquad 1-a<b<1 \cdots \cdots \cdots (\star)$$

이다.

 

$a$를 $0<a<1$에서 고정하고, $b$를 $1-a<b<1$에서 변화시켜가면, $$b+c=2-a, \quad AC + AB=2-a$$

즉, 점 $A$의 자취는 점 $B, C$를 두 초점으로 하는 타원이 된다.

 

 

이때, 장축의 길이를 $2p$라 하면 $2p=2-a$에서 $$p=1- \frac{a}{2} $$이고, 단축의 길이를 $2q$라 하면, $$q=\sqrt{(1- \frac{a}{2})^2 -(\frac{a}{2})^2}=\sqrt {1-a}$$

 

이제 $BC$를 축으로 1회전 시킨 도형의 부피를 구하기 위해, $A$에서 $BC$에 내린 수선의 발 $H$를 생각하자.

 

 

① $\angle B$, $\angle C$ 둘 다 예각인 경우,

$AH=h$, $CH=x$라 하면, 

$$V=\frac{1}{3}\pi h^2 (a-x)+\frac{1}{3}\pi h^2 x=\frac{1}{3}\pi h^2a$$

 

② $\angle B$, $\angle C$ 중 하나가 둔각인 경우,

$AH=h$, $CH=x$라 하면, 

$$V=\frac{1}{3}\pi h^2 (a+x)-\frac{1}{3}\pi h^2 x=\frac{1}{3}\pi h^2 a$$

 

 

①,② 의 경우에 관계없이, $V=\frac{1}{3}\pi h^2a$가 성립한다.

 

따라서, $V$가 최대이려면 $h=AH$가 최대이어야 하고, 이는 $A$가 타원의 단축에 위치할 경우이다. 따라서 이 경우 $\triangle ABC$는 밑변을 $BC$로 하는 이등변삼각형이 된다. 또, 이 경우 $a+2b=2$에서 $b=1- \cfrac{a}{2}$이므로 $(\star)$의 조건도 만족함을 알 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

(1)에서 고정된 $a$에 대해 $V$가 최대인 경우는 $h=q=\sqrt{1-a}$일 때임을 살펴보았다. 따라서, 

$$V=\cfrac{1}{3}\pi (1-a)a=\cfrac{1}{3}\pi(-a^2 +a)=\cfrac{1}{3}\pi\left\{ -(a-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{1}{4}\right\}$$

여기서 $a$의 범위는 $0<a<1$이므로, $V$는 $a=\frac{1}{2}$ ($b=\frac{3}{4}$)일 때 최댓값 $\frac{\pi}{12}$를 가진다.