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본고사

오사카대 2020-3(이과)

후플 2021. 8. 19. 21:34

 

 

 

 

 

 

삼각형 ABC에서 변 AB의 길이를 c, 변 CA의 길이를 b라고 하자. ACB=nABC이면 c<nb임을 보이시오. (단, n은 2 이상의 자연수이다.)

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

이처럼 일반적인 n에 대한 명제를 증명하는 문제에 대해, 많은 학생들이 지레 겁부터 먹는 경우가 많다. 혹은 지금의 수학교육 자체가 문제풀이에 초점이 맞춰져 있어서, 증명문제 자체를 생소하게 생각하는 학생들도 많을 것이다. 하지만 필자는 계산문제나 증명문제나 본질적으로는 큰 차이가 없다고 생각한다. 그러니 부디 겁먹지 말고 주어진 조건에서 사용할 수 있는 수학적 개념들을 하나씩 적용해보길 바란다. 제발 증명문제라고 겁먹지 맙시다!

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

ABC=θ라 하자. 조건에서 ACB=nθ이고, θ+nθ<π이므로 0<θ<πn+1이다. ABC의 외접원의 반지름을 R이라하면, 사인법칙에 의해

bsinθ=csinnθ=2R이고, b=2Rsinθ, c=2Rsinnθ에서

nbc=2R(nsinθsinnθ) 이다. 여기서 f(θ)=nsinθsinnθ라 하고 f(θ)>0임을 보이자.

 

f(θ)=ncosθncosnθ=n(cosnθcosθ)=2nsinn+12θsinn12θ

 

0<θ<πn+1에서 0<n+12θ<n+12πn+1=π2,0<n12θ<n12πn+1=π2

이므로 f(θ)>0이고 이는 f(θ)가 증가함수임을 의미한다. 게다가

f(θ)>f(0)=0 이므로 nbc=2Rf(θ)>0이고, 따라서 c<nb가 증명되었다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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