오사카대 2020-3(이과)

 

 

 

 

 

 

삼각형 $ABC$에서 변 $AB$의 길이를 $c$, 변 $CA$의 길이를 $b$라고 하자. $\angle ACB = n \angle ABC$이면 $c<nb$임을 보이시오. (단, $n$은 2 이상의 자연수이다.)

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

이처럼 일반적인 $n$에 대한 명제를 증명하는 문제에 대해, 많은 학생들이 지레 겁부터 먹는 경우가 많다. 혹은 지금의 수학교육 자체가 문제풀이에 초점이 맞춰져 있어서, 증명문제 자체를 생소하게 생각하는 학생들도 많을 것이다. 하지만 필자는 계산문제나 증명문제나 본질적으로는 큰 차이가 없다고 생각한다. 그러니 부디 겁먹지 말고 주어진 조건에서 사용할 수 있는 수학적 개념들을 하나씩 적용해보길 바란다. 제발 증명문제라고 겁먹지 맙시다!

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

$\angle ABC = \theta $라 하자. 조건에서 $\angle ACB = n \theta$이고, $\theta + n\theta <\pi$이므로 $0 < \theta < \cfrac{\pi}{n+1}$이다. $\triangle ABC$의 외접원의 반지름을 $R$이라하면, 사인법칙에 의해

$$\cfrac{b}{\sin\theta}=\cfrac{c}{\sin n\theta}=2R$$이고, $b=2R\sin\theta$, $c=2R\sin n\theta$에서

$$nb-c=2R(n\sin\theta - \sin n\theta)$$ 이다. 여기서 $f(\theta)=n\sin \theta -\sin n\theta$라 하고 $f(\theta)>0$임을 보이자.

 

$$f'(\theta)=n\cos\theta -n\cos n\theta=-n(\cos n\theta - \cos \theta)=2n\sin \frac{n+1}{2}\theta \sin \frac{n-1}{2}\theta$$

 

$0 < \theta < \cfrac{\pi}{n+1}$에서 $$0<\frac{n+1}{2}\theta<\frac{n+1}{2}\cdot \frac{\pi}{n+1}=\frac{\pi}{2}, \quad 0<\frac{n-1}{2}\theta<\frac{n-1}{2}\cdot \frac{\pi}{n+1}=\frac{\pi}{2}$$

이므로 $f'(\theta)>0$이고 이는 $f(\theta)$가 증가함수임을 의미한다. 게다가

$$f(\theta) >f(0)=0$$ 이므로 $nb-c=2Rf(\theta)>0$이고, 따라서 $c<nb$가 증명되었다.