오사카대 2020-1(이과)

 

 

 

 

 

 

함수 $f(x)=(x+1)^{\frac{1}{x+1}}(x \geq 0)$에 대한 다음 물음에 답하시오.

(1) $f(x)$의 최댓값을 구하시오.
(2) $\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x), \displaystyle\lim_{x\to \infty}f'(x)$을 각각 구하시오. 필요하다면,$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0$라는 사실을 이용해도 된다.
(3) $y=f(x)$의 그래프의 개형을 그리시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

미분을 통해 함수의 증감을 조사하고, 그래프의 개형을 그리는 전형적인 기본문제이다. 

 

 

 

 

풀이

 

 

(1)

$x \geq 0$ 에서 $f(x)=(x+1)^{\frac{1}{x+1}}>0$이므로, 양변에 로그를 취할 수 있다. 

$$\log f(x)=\log (x+1)^{\frac{1}{x+1}}=\cfrac{\log(x+1)}{x+1}$$

이제 양변을 미분하면, $\cfrac{f'(x)}{f(x)}=\cfrac{1-\log(x+1)}{(x+1)^2}$에서

$$f'(x)=\cfrac{1-\log(x+1)}{(x+1)^2}\cdot f(x)$$

이다. 이제 증감표를 그려보면,

$$\begin{array}{c|cccc} x & 0 & \cdots & e-1 & \cdots \\ \hline f'(x)& &+ & 0 & -  \\ \hline f(x)&1& \nearrow &   & \searrow \end{array}$$

따라서 $f(x)$의 최댓값은 $f(e-1)=e^{-e}$.

 

 

 

(2)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0$임을 사용하자. (1)에서 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log f(x)=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log (x+1)}{x+1}=0$에서 $$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{\log f(x)}=e^0=1$$ 이다. 또, $$f'(x)=\left\{ \cfrac{1}{(x+1)^2}-\cfrac{1}{x+1}\cdot\cfrac{\log (x+1)}{x+1}\right\} \cdot f(x)$$ 에서 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

(2)에서 $y=f(x)$는 $y=1$을 점근선으로 한다는 사실을 알 수 있었다. 따라서 그래프의 개형은 아래와 같다.