오사카대 2020-2(문과)

 

 

 

 

 

원주를 3등분 한 점들을 시계방향으로 $A$, $B$, $C$라 하자. 점 $Q$는 $A$에서 출발하여 $A$, $B$, $C$로 다음 조건에 맞춰 이동한다. 1개의 주사위를 던져 1의 눈이 나오면 시계방향으로 한 칸 이동하고, 2의 눈이 나오면 반시계방향으로 한 칸 이동한다. 이외의 눈이 나오면 이동하지 않는다. 주사위를 $n$회 던졌을 때 $Q$가 $A$에 위치할 확률을 $p_n$이라 할 때, 아래의 문제에 답하시오.

(1) $p_2$를 구하시오.
(2) $p_{n+1}$를 $p_n$으로 나타내시오.
(3) $p_n$을 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

주어진 점이 4개만 됬어도 계산이 훨씬 복잡했을텐데, 이 문제는 세팅이 아주 단순해서 쉬운문제라고 할 수 있다. 점화식 역시 가장 기초적인 형태이기 때문에 어렵지 않게 해결 가능하다.

 

 

 

 

풀이

 

 

(1)

주사위를 두 번 던진 후에 점 $Q$가 $A$에 위치하는 경우는 $Q$가 $A\to B\to A$, $A\to C\to A$, $A\to A\to A$의 3가지 뿐이다. 따라서 $p_2$는

$$p_2=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}+\frac{4}{6}\cdot \frac{4}{6}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$$

 

 

(2)
주사위를 $n+1$번 던진 후에 $Q$가 $A$에 위치할 확률 $p_{n+1}$은 주사위를 $n$번 던진 후의 $Q$의 위치에 따라 나눠서 구해보자.

 

① $Q$가 $A$에 위치할 경우

 

$n+1$번 째에는 1,2의 눈만 안 나오면 되므로 구하는 확률은 $p_n\cdot \frac{4}{6}=\frac{2}{3}{p}_n$

 

② $Q$가 $B$ 또는 $C$에 위치할 경우

 

$B$에 있으면 2가 $C$에 있으면 1이 나와야 $n+1$째에는 $A$에 위치하기 때문에 구하는 확률은 $(1-p_n)\cdot \frac{1}{6}$

 

 

①, ②에 의해, $$p_{n+1}=\frac{2}{3}{p}_n+\frac{1}{6}(1-p_n)=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{6}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

$p_1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$이고, (2)의 결과에서 $p_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}(p_n-\frac{1}{3})$로 변형할 수 있다. 이때 수열 $\{p_n-\frac{1}{3}\}$은 등비수열이되고, $$p_n-\frac{1}{3}=(p_1-\frac{1}{3}){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$이다. 따라서 $p_n=\frac{1}{3}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$이다.