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본고사

도쿄대 2019-4(문과)

후플 2021. 11. 24. 14:27

 

 

 

 

 

부등식 |x|+|y|1의 영역을 D라 하자. 점 P, Q가 영역 D 위를 움직일 때, OR=OPOQ를 만족하는 점 R의 자취의 영역을 E라 하자.

(1) 영역 D, E를 각각 그리시오.
(2) 실수 a, b에 대해, 부등식 |xa|+|yb|1의 영역을 F라 하자. 점 S, T가 영역 F 위를 움직일 때, OU=OSOT를 만족하는 점 U의 자취의 영역을 G라 하자. 이때, GE가 일치함을 보이시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

 

 

비록 한국 수학 교육 과정에서 '부등식의 영역'이 없어졌지만, 영역 D와 같은 부등식은 익숙한 사람들이 많다.

하지만 E의 경우에는 두 점 P,Q가 '독립적'으로 움직이고 있기 때문에 바로 떠올리기가 쉽지 않다. 이럴 땐 먼저 한 점을 고정시키고 생각하는 것이 일반적인 방법이다. 

(2)의 경우 벡터의 뺼셈에 대해서 잘 숙지하고 있다면 직관적으로 GE가 같은 영역일 수 밖에 없다고 먼저 생각할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

 

(1)

x0, y0일 때 x+y1이므로 이를 1 사분면에 그리면 직각이등변삼각형이 된다.

대칭성을 이용해서 각 사분면에 그려주면 오른쪽 그림과 같은 영역 D가 그려진다.

(경계선을 포함한다.)

이제 두 점 P(p1,p2), Q(q1,q2)에 대해,  

OR=OPOQ=(p1q1,p2q2)을 생각하자.

이때, P,QD상에서 각각 독립적으로 움직이는 점이기 때문에 R의 자취를 생각하기 쉽지 않다. 그러므로 먼저 점 Q를 고정시키고 P를 움직여보자. 

고정된 (q1,q2)에 대해 OP=(p1q1,p2q2)는 영역 D 전체를 x축으로 q1만큼 y축으로 q2만큼 평행이동 시킨 것과 같으므로 오른쪽 그림과 같이 된다. 이제 점Q(q1,q2)를 영역 D에서 움직이면 아래 그림과 같이 영역 E:|x|+|y|2를 그릴 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

영역 F는 영역 Dx축으로 a만큼 y축으로 b만큼 평행이동한 도형이므로, F 상의 두 점 S,T는 

S(a+s1,b+s2),T(a+t1,b+t2)(s1,s2),(t1,t2)D

로 나타낼 수 있다. 이제 OU=(s1t1,s2t2)이고 (s1,s2),(t1,t2)D 위의 두 점이므로 (1)에 의해 U의 자취 GR의 자취 E는 서로 같음을 알 수 있다.

 

 

 

 

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