도쿄대 2019-4(문과)

 

 

 

 

 

부등식 $$ |x| +|y| \leq 1 $$의 영역을 $D$라 하자. 점 $P$, $Q$가 영역 $D$ 위를 움직일 때, $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}$를 만족하는 점 $R$의 자취의 영역을 $E$라 하자.

(1) 영역 $D$, $E$를 각각 그리시오.
(2) 실수 $a$, $b$에 대해, 부등식 $$|x-a| +|y-b| \leq 1$$의 영역을 $F$라 하자. 점 $S$, $T$가 영역 $F$ 위를 움직일 때, $\overrightarrow{OU}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OT}$를 만족하는 점 $U$의 자취의 영역을 $G$라 하자. 이때, $G$와 $E$가 일치함을 보이시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

 

 

비록 한국 수학 교육 과정에서 '부등식의 영역'이 없어졌지만, 영역 $D$와 같은 부등식은 익숙한 사람들이 많다.

하지만 $E$의 경우에는 두 점 $P, Q$가 '독립적'으로 움직이고 있기 때문에 바로 떠올리기가 쉽지 않다. 이럴 땐 먼저 한 점을 고정시키고 생각하는 것이 일반적인 방법이다. 

(2)의 경우 벡터의 뺼셈에 대해서 잘 숙지하고 있다면 직관적으로 $G$와 $E$가 같은 영역일 수 밖에 없다고 먼저 생각할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

 

(1)

$x \geq 0$, $y \geq 0$일 때 $x+y \leq 1$이므로 이를 1 사분면에 그리면 직각이등변삼각형이 된다.

대칭성을 이용해서 각 사분면에 그려주면 오른쪽 그림과 같은 영역 $D$가 그려진다.

(경계선을 포함한다.)

이제 두 점 $P(p_1, p_2)$, $Q(q_1, q_2)$에 대해,  

$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}= (p_1 -q_1, p_2-q_2)$을 생각하자.

이때, $P, Q$는 $D$상에서 각각 독립적으로 움직이는 점이기 때문에 $R$의 자취를 생각하기 쉽지 않다. 그러므로 먼저 점 $Q$를 고정시키고 $P$를 움직여보자. 

고정된 $(q_1, q_2)$에 대해 $\overrightarrow{OP}=(p_1 -q_1 , p_2 -q_2)$는 영역 $D$ 전체를 $x$축으로 $q_1$만큼 $y$축으로 $q_2$만큼 평행이동 시킨 것과 같으므로 오른쪽 그림과 같이 된다. 이제 점$Q(q_1, q_2)$를 영역 $D$에서 움직이면 아래 그림과 같이 영역 $E : |x|+|y| \leq 2$를 그릴 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

영역 $F$는 영역 $D$를 $x$축으로 $a$만큼 $y$축으로 $b$만큼 평행이동한 도형이므로, $F$ 상의 두 점 $S, T$는 

$$S(a+s_1, b+s_2), T(a+t_1, b+t_2) \qquad (s_1,s_2), (t_1,t_2) \in D$$

로 나타낼 수 있다. 이제 $\overrightarrow{OU}=(s_1-t_1, s_2-t_2)$이고 $(s_1,s_2), (t_1,t_2)$는 $D$ 위의 두 점이므로 (1)에 의해 $U$의 자취 $G$와 $R$의 자취 $E$는 서로 같음을 알 수 있다.