도쿄대 2023-2(문과)

좌표평면 위의 곡선 $y=3x^2-4x$를  $C$, 직선 $y=2x$를  $l$이라 하자. 실수 $t$에 대해, 포물선 $C$ 위의 점 $P(t,3t^2-4t)$에서 직선 $l$까지의 거리를 $f(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(i) 실수 $a$의 범위가 $-1 \leq a \leq 2$일 때, 다음 정적분을 구하시오.
$$ g(A)= \int^a_{-1}f(t)dt$$

(ii) 실수 $a$의 범위가 $0 \leq a \leq 2$일 때, $g(a)-f(a)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

'거리'와 같은 물리량은 항상 양수라는 사실을 인지하고 있어야합니다. 그에 따라 미지수의 범위를 잘 나눠주기만 한다면 크게 어려운 문항은 아닙니다. 

 

 

 

 

 

풀이

 

(i)

점 $P$에서 직선 $ l : 2x-y=0 $까지의 거리 $f(t)$는

$$ \cfrac{|2t-(3t^2-4t)|}{\sqrt{2^2 +(-1)^2}}=\cfrac{|3t^2-6t|}{\sqrt 5}$$

이다. 이때, $3t^2-6t$는 $0 \leq t \leq 2$에서 0이하의 값을 가지기 때문에 범위를 나눠서 정적분을 계산해야한다.

 

$-1 \leq a <0$일 때,

$$\begin{align} g(a)&= \int^a_{-1}\cfrac{|3t^2-6t|}{\sqrt5}dt \\&=\int^a_{-1}\cfrac{3t^2-6t}{\sqrt5}dt\\&=\cfrac{1}{\sqrt5}\left[t^3-3t^2\right]^a_{-1}\\&=\cfrac{1}{\sqrt5}(a^3-3a^2+1+3)\\&=\cfrac{\sqrt5}{5}(a^3-3a^2+4) \end{align}$$

이다. 또, $0\leq a \leq2$일 때는,

$$\begin{align} g(a)&= \int^a_{-1}\cfrac{|3t^2-6t|}{\sqrt5}dt \\&=\int^0_{-1}\cfrac{3t^2-6t}{\sqrt5}dt+\int^a_{0}\cfrac{3t^2-6t}{\sqrt5}dt\\&=\cfrac{4}{\sqrt5}+\cfrac{1}{\sqrt5}\left[-t^3+3t^2\right]^a_{0}\\&=\cfrac{4}{\sqrt5}+\cfrac{1}{\sqrt5}(-a^3+3a^2)\\&=\cfrac{\sqrt5}{5}(-a^3+3a^2+4) \end{align}$$

이다. 정리하면,

$$g(a)=\left\{\begin{align}&\cfrac{\sqrt5}{5}(a^3-3a^2+4) \quad \quad \quad (-1 \leq a <0) \\&\cfrac{\sqrt5}{5}(-a^3+3a^2+4) \quad \quad \quad(0 \leq a \leq2) \end{align}\right.$$

 

 

(ii)

$0 \leq a \leq 2$일 때,

$$\begin{align} &f(a)= \cfrac{|3a^2-6a|}{\sqrt5}=\cfrac{-3a^2+6a}{\sqrt5}\\&g(a)=\cfrac{1}{\sqrt5}(-a^3+3a^2+4) \end{align}$$

이다. 이때, $h(a)=g(a)-f(a)$라 하면,

$$\begin{align} h(a)=&\cfrac{1}{\sqrt5}(-a^3+3a^2+4)-\cfrac{-3a^2+6a}{\sqrt5}\\=&\cfrac{1}{5}(-a^3+6a^2-6a+4) \end{align}$$

이다. 극값을 구하기 위해 $h'(a)$를 구하자.

$$\begin{align} h'(a)=&\cfrac{1}{\sqrt5}(-3a^2+12a-6)\\=&-\cfrac{3}{\sqrt5}(a^2-4a+2) \end{align}$$

이제 증감표를 그리면 다음과 같다.

$$ \begin{array}{c|ccccc} a& 0 & \cdots & 2-\sqrt2& \cdots &2 \\ \hline h'(a)& & - & 0 & + & \\ \hline h(a)&  & \searrow &  & \nearrow &  \end{array} $$

 

증감표로 부터 최댓값은 $\max\{h(0), h(2)\}$이고, 최솟값은 $h(2-\sqrt2)$임을 알 수 있다.

$$\begin{align} &h(0)= \cfrac{4}{\sqrt5} \\&h(2)=\cfrac{8}{\sqrt5} \end{align}$$

에서 최댓값은 $\cfrac{8\sqrt5}{5}$이다.

 

최솟값을 구하기 위해 $h(a)$에 직접 $a=2-\sqrt2$를 대입하기보단, $a^2-4a-2=0$임을 이용하는 것이 수월하다.

$$\begin{align} \sqrt5 h(a)=&-a^3+6a^2-6a+4\\=&-a(4a-2)+6(4a-2)-6a+4\\=&-4a^2+20a-8\\=&-4(4a-2)+20a-8\\=&\; 4a\\=&\; 4(2-\sqrt2) \end{align}$$

따라서 최솟값은 $\cfrac{4\sqrt5 (2-\sqrt2)}{5}$이다.