도쿄대 2023-2(문과)

좌표평면 위의 곡선 $y=3x^2-4x$를  $C$, 직선 $y=2x$를  $l$이라 하자. 실수 $t$에 대해, 포물선 $C$ 위의 점 $P(t,3t^2-4t)$에서 직선 $l$까지의 거리를 $f(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(i) 실수 $a$의 범위가 $-1\le a\le 2$일 때, 다음 정적분을 구하시오.
$$g(A)={\int }_{-1}^{a}f(t)dt$$

(ii) 실수 $a$의 범위가 $0\le a\le 2$일 때, $g(a)-f(a)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

'거리'와 같은 물리량은 항상 양수라는 사실을 인지하고 있어야합니다. 그에 따라 미지수의 범위를 잘 나눠주기만 한다면 크게 어려운 문항은 아닙니다. 

 

 

 

 

 

풀이

 

(i)

점 $P$에서 직선 $l:2x-y=0$까지의 거리 $f(t)$는

$$\frac{|2t-(3t^2-4t)|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|3t^2-6t|}{\sqrt{5}}$$

이다. 이때, $3t^2-6t$는 $0\le t\le 2$에서 0이하의 값을 가지기 때문에 범위를 나눠서 정적분을 계산해야한다.

 

$-1\le a<0$일 때,

$$\begin{array}{rl}g(a)& ={\int }_{-1}^a\frac{|3t^2-6t|}{\sqrt{5}}dt\\ & ={\int }_{-1}^a\frac{3t^2-6t}{\sqrt{5}}dt\\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}{[t^3-3t^2]}_{-1}^a\\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}(a^3-3a^2+1+3)\\ & =\frac{\sqrt{5}}{5}(a^3-3a^2+4)\end{array}$$

이다. 또, $0\le a\le 2$일 때는,

$$\begin{array}{rl}g(a)& ={\int }_{-1}^a\frac{|3t^2-6t|}{\sqrt{5}}dt\\ & ={\int }_{-1}^0\frac{3t^2-6t}{\sqrt{5}}dt+{\int }_0^a\frac{3t^2-6t}{\sqrt{5}}dt\\ & =\frac{4}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}{[-t^3+3t^2]}_0^a\\ & =\frac{4}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}(-a^3+3a^2)\\ & =\frac{\sqrt{5}}{5}(-a^3+3a^2+4)\end{array}$$

이다. 정리하면,

$$g(a)=\{\begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{5}}{5}(a^3-3a^2+4)(-1\le a<0)\\ & \frac{\sqrt{5}}{5}(-a^3+3a^2+4)(0\le a\le 2)\end{array}$$

 

 

(ii)

$0\le a\le 2$일 때,

$$\begin{array}{rl}& f(a)=\frac{|3a^2-6a|}{\sqrt{5}}=\frac{-3a^2+6a}{\sqrt{5}}\\ & g(a)=\frac{1}{\sqrt{5}}(-a^3+3a^2+4)\end{array}$$

이다. 이때, $h(a)=g(a)-f(a)$라 하면,

$$\begin{array}{rl}h(a)=& \frac{1}{\sqrt{5}}(-a^3+3a^2+4)-\frac{-3a^2+6a}{\sqrt{5}}\\ =& \frac{1}{5}(-a^3+6a^2-6a+4)\end{array}$$

이다. 극값을 구하기 위해 $h^{\prime }(a)$를 구하자.

$$\begin{array}{rl}{h}^{\prime }(a)=& \frac{1}{\sqrt{5}}(-3a^2+12a-6)\\ =& -\frac{3}{\sqrt{5}}(a^2-4a+2)\end{array}$$

이제 증감표를 그리면 다음과 같다.

$$\begin{array}{cccccc}a& 0& \cdots & 2-\sqrt{2}& \cdots & 2\\ h^{\prime }(a)& & -& 0& +& \\ h(a)& & \searrow & & \nearrow & \end{array}$$

 

증감표로 부터 최댓값은 $max\{h(0),h(2)\}$이고, 최솟값은 $h(2-\sqrt{2})$임을 알 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& h(0)=\frac{4}{\sqrt{5}}\\ & h(2)=\frac{8}{\sqrt{5}}\end{array}$$

에서 최댓값은 $\frac{8\sqrt{5}}{5}$이다.

 

최솟값을 구하기 위해 $h(a)$에 직접 $a=2-\sqrt{2}$를 대입하기보단, $a^2-4a-2=0$임을 이용하는 것이 수월하다.

$$\begin{array}{rl}\sqrt{5}h(a)=& -a^3+6a^2-6a+4\\ =& -a(4a-2)+6(4a-2)-6a+4\\ =& -4a^2+20a-8\\ =& -4(4a-2)+20a-8\\ =& 4a\\ =& 4(2-\sqrt{2})\end{array}$$

따라서 최솟값은 $\frac{4\sqrt{5}(2-\sqrt{2})}{5}$이다.