도쿄대 2023-1(문과)

2보다 큰 실수 $k$에 대한 이차방정식 $x^2+x-k=0$의 두 실근을 $\alpha ,\beta$라 하자. 이때,
$$\frac{{\alpha }^3}{1-\beta }+\frac{{\beta }^3}{1-\alpha }$$ 의 최솟값을 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해 준식을 $k$에 대한 분수식으로 고칠 수 있습니다. 이제 최솟값을 구하는 문제가 남는데, 식의 형태를 보면 어떤 방법을 쓰면 좋을지가 보입니다! 

그리고 최솟값/최댓값을 묻는 문제에서는, 특별한 말이 없더라도 그때의 $k$값까지 구하는 습관을 기릅시다.

 

 

 

 

 

풀이

 

이차방정식 $x^2+x-k=0$의 판별식은 $D=1+4k$ 이므로 $k>2$에서 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다.

준식이 대칭식이므로, 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해 준식을 간단히 할 수 있다.

$$\alpha +\beta =-1,\alpha \beta =-k$$

 

$$\begin{array}{rl}{\alpha }^2+{\beta }^2& =(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \\ & =1+2k\\ {\alpha }^3+{\beta }^3& =(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )\\ & =-1-3k\\ {\alpha }^4+{\beta }^4& =({\alpha }^2+{\beta }^2{)}^2-2{\alpha }^2{\beta }^2\\ & =(1+2k{)}^2-2(-k{)}^2\\ & =2k^2+4k+1\end{array}$$

 

이제 준식을 통분하면,

$$\begin{array}{rl}& \frac{{\alpha }^3}{1-\beta }+\frac{{\beta }^3}{1-\alpha }\\ =& \frac{{\alpha }^3(1-\alpha )+{\beta }^3(1-\beta )}{(1-\beta )(1-\alpha )}\\ =& \frac{({\alpha }^3+{\beta }^3)-({\alpha }^4+{\beta }^4)}{1-(\alpha +\beta )+\alpha \beta }\\ =& \frac{(-1-3k)-(2k^2+4k+1)}{1-(-1)-k}\\ =& \frac{-2k^2-7k-2}{2-k}\\ =& \frac{2k^2+7k+2}{k-2}\\ =& 2k+11+\frac{24}{k-2}\\ =& 2(k-2)+\frac{24}{k-2}+15\end{array}$$

마지막 단계에서 다항식의 나눗셈을 이용해 산술평균 $\cdot$ 기하평균 관계를 쓰기 쉬운 형태로 변형하였다. $k-2>0$이므로

$$\begin{array}{rl}& 2(k-2)+\frac{24}{k-2}+15\\ \ge & 2\sqrt{2(k-2)\cdot \frac{24}{k-2}}+15\\ =& 2\sqrt{48}+15\\ =& 8\sqrt{3}+15\end{array}$$

가 성립한다. 마지막으로 등호성립조건은 $2(k-2)=\frac{24}{k-2}$에서, $(k-2{)}^2=12$이므로 $k=2+2\sqrt{3}$이다.

 

정리하면, 준식은 $k=2+2\sqrt{3}$일 때, 최솟값 $8\sqrt{3}+15$를 갖는다.