도쿄대 2023-1(문과)

2보다 큰 실수 $k$에 대한 이차방정식 $x^2+x-k=0$의 두 실근을 $\alpha , \beta$라 하자. 이때,
$$ \cfrac{\alpha ^3}{1-\beta} + \cfrac{\beta ^3}{1-\alpha}$$ 의 최솟값을 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해 준식을 $k$에 대한 분수식으로 고칠 수 있습니다. 이제 최솟값을 구하는 문제가 남는데, 식의 형태를 보면 어떤 방법을 쓰면 좋을지가 보입니다! 

그리고 최솟값/최댓값을 묻는 문제에서는, 특별한 말이 없더라도 그때의 $k$값까지 구하는 습관을 기릅시다.

 

 

 

 

 

풀이

 

이차방정식 $x^2+x-k=0$의 판별식은 $D=1+4k$ 이므로 $k>2$에서 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다.

준식이 대칭식이므로, 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해 준식을 간단히 할 수 있다.

$$ \alpha + \beta = -1 , \alpha \beta =-k$$

 

\begin{align} \alpha^2 +\beta^2 &= (\alpha+\beta)^2-2\alpha \beta\\&=1+2k \\ \alpha^3 +\beta^3 &=(\alpha+\beta)^3-3\alpha \beta (\alpha + \beta) \\&=-1-3k \\ \alpha^4 +\beta ^4 &=(\alpha ^2 +\beta ^2 )^2 -2\alpha ^2 \beta ^2 \\&=(1+2k)^2 -2(-k)^2 \\ &=2k^2+4k+1 \end{align}

 

이제 준식을 통분하면,

\begin{align} &\cfrac{\alpha^3}{1-\beta}+\cfrac{\beta^3}{1-\alpha} \\=&\cfrac{\alpha^3(1-\alpha)+\beta^3(1-\beta)}{(1-\beta)(1-\alpha)}\\=&\cfrac{(\alpha^3+\beta^3)-(\alpha^4+\beta^4)}{1-(\alpha+\beta)+\alpha \beta}\\=&\cfrac{(-1-3k)-(2k^2+4k+1)}{1-(-1)-k}\\=& \cfrac{-2k^2-7k-2}{2-k}\\=&\cfrac{2k^2+7k+2}{k-2} \\=&2k+11 + \cfrac{24}{k-2} \\=& 2(k-2) +\cfrac{24}{k-2}+15 \end{align}

마지막 단계에서 다항식의 나눗셈을 이용해 산술평균 $\cdot$ 기하평균 관계를 쓰기 쉬운 형태로 변형하였다. $k-2>0$이므로

\begin{align} &2(k-2) +\cfrac{24}{k-2}+15 \\ \geq& 2\sqrt{2(k-2) \cdot \cfrac{24}{k-2}} +15 \\=& 2\sqrt{48} +15 \\=&8\sqrt{3}+15 \end{align}

가 성립한다. 마지막으로 등호성립조건은 $2(k-2)= \cfrac{24}{k-2}$에서, $(k-2)^2=12$이므로 $k=2+2\sqrt3$이다.

 

정리하면, 준식은 $k=2+2\sqrt3$일 때, 최솟값 $8\sqrt3+15$를 갖는다.