교토대 2019-3(문과)

실수 $a,b,c$에 대해 다음 명제가 성립하기 위한 $a$, $c$의 필요충분조건을 구하시오. 그리고 $(a,c)$의 범위를 그리시오.

명제 : 모든 실수 $b$에 대해서 부등식 $a{x}^2+bx+c<0$을 만족하는 실수 $x$가 존재한다. 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

한 번에 필요충분조건을 생각하기 힘든경우에는 필요조건을 먼저 생각해보자. 만약 명제가 성립한다면, 특정한 $b$에 대해서도 명제가 성립해야 한다. 그로부터 조건을 도출해 내고, 그 조건을 만족하면 명제를 만족함을 보여보자. 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

부등식 $a{x}^2+bx+c<0$을 $(\star )$라 하자.

 

 

(i) $a<0$ 일 때

 

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(a{x}^2+bx+c)=-\mathrm{\infty }$$

이므로 $b$ 값에 관계없이 $(\star )$의 좌변이 음이 되는 충분히 큰 $x$가 존재한다.

따라서 이 경우에 명제가 성립하기 위한 필요충분조건은 '$a<0$ , $c$ 는 임의의 실수' 이다.

 

 

(ii) $a=0$ 일 때

 

$b=0$이면 $(\star )$의 좌변은 $c$이고, 이 경우 $(\star )$를 만족하기 위해선 $c<0$이어야 한다.

반대로 $c<0$이면 $(\star )$의 좌변은 $bx+c$이고, $x=0$에 대해 $(\star )$를 만족함을 알 수 있다.

따라서 이 경우에 명제가 성립하기 위한 필요충분조건은 '$a=0$, $c<0$' 이다.

 

 

(iii) $a>0$ 일 때

 

$b=0$이면 $(\star )$의 좌변은 $a{x}^2+c$이고, 그 최솟값은 $c$이므로 $(\star )$를 만족하기 위해선 $c<0$ 이어야 한다.

반대로 $c<0$ 이면 $(\star )$의 좌변은 $a{x}^2+bx+c$이고, $x=0$에 대해 $(\star )$를 만족함을 알 수 있다.

따라서 이 경우에 명제가 성립하기 위한 필요충분조건은 '$a>0$, $c<0$' 이다.

 

(i)(ii)(iii)에서 준 명제가 성립하기 위한 필요충분조건은,

$a<0$ 또는 '$a\ge 0$ 이고 $c<0$' 이다.

이를 그려보면 아래와 같고 경계선은 포함하지 않는다.