교토대 2019-2(문과)

실수 $a$와 양의 정수 $b$에 대하여 함수 $f(x)=x^2 +2(ax+b|x|)$의 최솟값 $m$을 구하여라. 그리고 $a$의 값이 변할 때, $a$를 $x$축, $m$을 $y$축으로 하는 그래프를 그리시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

고1 수학에 해당하는 이차함수의 최솟값에 관한 문제지만, 문자가 많이 등장해서 쉽지 않다. 다행히 $b$는 양의 고정된 상수이다.  절댓값이 있기 때문에 $x$의 범위를 나누는 것 까진 좋은데, 각 경우에 대해서 $a,b$의 관계를 고려해야 하는 것이 관건이다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

$x \geq 0 $ 일 때 $$f(x) = x^2 +2(ax+bx)=(x+a+b)^2 -(a+b)^2$$

의 꼭짓점의 $x$ 좌표는 $-a-b$이고, 이것이 $x \geq 0$의 범위에 들어갈 조건은 $-a-b \geq 0$ 즉, $a \leq -b$인 경우이다.

 

$x<0$ 일 때 $$f(x)=x^2 +2(ax-bx)=(x+a-b)^2-(a-b)^2$$

의 꼭짓점의 $x$ 좌표는 $-a+b$이고, 이것이 $x<0$의 범위에 들어갈 조건은 $-a+b<0$ 즉, $a>b$인 경우이다.

 

$b$가 양수이기 때문에  $a \leq -b$, $-b<a \leq b$, $a>b$의 세 가지 경우로 나눠서 $f(x)$의 최솟값을 생각해보자.

 

 

(i) $a \leq -b$인 경우

 

이때, $-a-b \geq 0$이고, $x \geq 0$에서 $x= -a-b$일 때 최솟값 $-(a+b)^2$을 갖는다.

$b>0$이므로 $-a+b \geq0$이고, $x<0$에서 $f(x)>f(0)=0$이다.

 

 

 

이 경우의 최솟값은 $m=-(a+b)^2$이다.

 

 

(ii) $-b <a \leq b$인 경우

 

이때, $-a-b<0$이므로 $x \geq 0$에서 $f(x)$는 $x=0$에서 최솟값 $f(0)=0$을 갖는다.

또, $-a+b \geq0$이고, $x<0$에서 $f(x)>f(0)=0$이다.

 

 

 

이 경우의 최솟값은 $m=0$이다.

 

 

(iii) $a>b$인 경우

 

이때, $-a-b<0$이므로 $x \geq 0$에서 $f(x)$는 $x=0$에서 최솟값 $f(0)=0$을 갖는다.

또, $-a+b<0$이고, $x<0$에서 $x=-a+b$일 때 최솟값 $-(a-b)^2$을 갖는다.

 

 

 

이 경우의 최솟값은 $m=-(a-b)^2$이다.

 

 

(i)(ii)(iii)에서, 

 

$$\left\{\begin{align}&-(a+b)^2 \qquad (a \leq -b)\\&0 \qquad \qquad \qquad(-b<a\leq b)\\&-(a-b)^2 \qquad (a>b)\end{align}\right.$$

 

이다. 따라서 $a$에 대한 $m$의 그래프는 다음과 같다.