본고사

교토대 2019-2(문과)

후플 2022. 5. 16. 14:10
실수 aa와 양의 정수 bb에 대하여 함수 f(x)=x2+2(ax+b|x|)f(x)=x2+2(ax+b|x|)의 최솟값 mm을 구하여라. 그리고 aa의 값이 변할 때, aaxx축, mmyy축으로 하는 그래프를 그리시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

고1 수학에 해당하는 이차함수의 최솟값에 관한 문제지만, 문자가 많이 등장해서 쉽지 않다. 다행히 bb는 양의 고정된 상수이다.  절댓값이 있기 때문에 xx의 범위를 나누는 것 까진 좋은데, 각 경우에 대해서 a,ba,b의 관계를 고려해야 하는 것이 관건이다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

x0x0 일 때 f(x)=x2+2(ax+bx)=(x+a+b)2(a+b)2f(x)=x2+2(ax+bx)=(x+a+b)2(a+b)2

의 꼭짓점의 xx 좌표는 abab이고, 이것이 x0x0의 범위에 들어갈 조건은 ab0ab0 즉, abab인 경우이다.

 

x<0x<0 일 때 f(x)=x2+2(axbx)=(x+ab)2(ab)2f(x)=x2+2(axbx)=(x+ab)2(ab)2

의 꼭짓점의 xx 좌표는 a+ba+b이고, 이것이 x<0x<0의 범위에 들어갈 조건은 a+b<0a+b<0 즉, a>ba>b인 경우이다.

 

bb가 양수이기 때문에  abab, b<abb<ab, a>ba>b의 세 가지 경우로 나눠서 f(x)f(x)의 최솟값을 생각해보자.

 

 

(i) abab인 경우

 

이때, ab0ab0이고, x0x0에서 x=abx=ab일 때 최솟값 (a+b)2(a+b)2을 갖는다.

b>0b>0이므로 a+b0a+b0이고, x<0x<0에서 f(x)>f(0)=0f(x)>f(0)=0이다.

 

 

 

이 경우의 최솟값은 m=(a+b)2m=(a+b)2이다.

 

 

(ii) b<abb<ab인 경우

 

이때, ab<0ab<0이므로 x0x0에서 f(x)f(x)x=0x=0에서 최솟값 f(0)=0f(0)=0을 갖는다.

또, a+b0a+b0이고, x<0x<0에서 f(x)>f(0)=0f(x)>f(0)=0이다.

 

 

 

이 경우의 최솟값은 m=0m=0이다.

 

 

(iii) a>ba>b인 경우

 

이때, ab<0ab<0이므로 x0x0에서 f(x)f(x)x=0x=0에서 최솟값 f(0)=0f(0)=0을 갖는다.

또, a+b<0a+b<0이고, x<0x<0에서 x=a+bx=a+b일 때 최솟값 (ab)2(ab)2을 갖는다.

 

 

 

이 경우의 최솟값은 m=(ab)2m=(ab)2이다.

 

 

(i)(ii)(iii)에서, 

 

{(a+b)2(ab)0(b<ab)(ab)2(a>b)

 

이다. 따라서 a에 대한 m의 그래프는 다음과 같다.

 

 

 

 

 

 

 

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