도쿄대 2019-5(이과)

 

 

 

 

 

 

아래의 각 문제에 답하시오.

(1) $x$에 대한 방정식 $$x^{2n-1} =\cos x $$는 단 하나의 실근 $a_n$을 가짐을 보이시오. (단, $n$은 1 이상의 정수)
(2) (1)의 $a_n$에 대해 $\cos a_n > \cos 1 $임을 보이시오.
(3) (1)에서 구한 수열 $\left\{ a_n \right\}$에 대해, 
$$\begin{align} &a= \lim_{n->\infty} a_n \\&b=\lim_{n->\infty}a_n ^n \\&c=\lim_{n->\infty}\cfrac{a_n ^n -b}{a_n -a}\end{align}$$

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

(1), (2) 의 경우에는 두 함수의 그래프를 그려서 비교해도 쉽게 알 수 있습니다. 

(3)의 경우에 부정형의 극한인 $c$를 구하는 것이 조금 문제입니다. 식을 변형해서 해결하는 일반적인 방법이 힘들기 때문에, 분모 분자의 형태를 잘 보고 다른 방법을 생각해보시면 좋을 것 같습니다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

 

 

(1)

$x$의 범위를 나눠서 생각해보자.

 

$|x| >1$일 때,

$|x^{2n-1}|>1$이고 $| \cos x | \leq 1 $이므로, 방정식 $x^{2n-1}=\cos x $는 해가 없다.

 

$ -1 \leq x \leq 0$일 때,

$x^{2n-1}\leq 0$이고 $-\cfrac{\pi}{2}\leq -1$이므로 $\cos x >0$이다. 따라서 방정식 $x^{2n-1}=\cos x $의 해는 없다.

 

이제 $0<x\leq 1$에서 방정식 $x^{2n-1}=\cos x$가 단 하나의 실근을 가짐을 보이면 충분하다.

 

$f(x)=x^{2n-1}-\cos x $라 하자. $f'(x) =(2n-1)x^{2n-2}+\sin x >0$이므로 $f(x)$는 $0<x \leq 1$에서 단조증가함수이다.

이때, $f(1)=1-\cos 1 >0$, $f(0)=-1<0$이므로 사잇값정리에 의해 $f(x)=0$는 $0<x<1$에서 단 하나의 실근을 가진다.

 

 

 

 

 

 

(2)

(1)에서 구한 해의 범위가 $0<a_n<1$이므로, $\cos a_n > \cos 1$이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

(1)에서 구한 $a_n$의 범위가 $0<a_n<1$이고, (2)로부터 $$a_n ^{2n-1}=\cos a_n >\cos 1 $$이므로,$$(\cos 1 )^{1 \over {2n-1}}<a_n <1$$

이다.  $$\lim _{n->\infty} (\cos 1)^{1 \over {2n-1}}=(\cos 1 )^0 =1 $$이므로 샌드위치 정리에 의해서 $$a= \lim_{n->\infty}a_n =1$$이다.

 

또, $a_n^{2n-1}=\cos a_n$에서 $a_n^n =\sqrt{a_n \cos a_n}$이므로, $$b=\lim_{n->\infty}a_n^n=\lim_{n->\infty}\sqrt{a_n \cos a_n}=\sqrt{\cos 1 }$$이다.

 

마지막으로,

$$c=\lim_{n->\infty} \cfrac{a_n^n-b}{a_n-a}=\lim_{n->\infty}\cfrac{\sqrt{a_n \cos a_n}-\sqrt {\cos 1 }}{a_n -1}$$의 값을 구하자. $g(x)= \sqrt{x \cos x }$라 하면, $g'(x)=\cfrac{\cos x -x \sin x }{2\sqrt { x \cos x }}$이고$$ \lim_{x->1} \cfrac{\sqrt{x \cos x}-\sqrt{\cos 1 }}{x-1}=g'(1)=\cfrac{\cos 1 - \sin 1 }{2\sqrt{\cos 1 }}$$ 이다. 따라서, $$c=\lim_{n->\infty} \cfrac{a_n^n-b}{a_n-a}=\cfrac{\cos 1 - \sin 1 }{2\sqrt{\cos 1 }}$$이다.

 

이상으로 $$\begin{align} &a=1\\&b=\cos 1 \\&c=\cfrac{\cos 1 - \sin 1 }{2\sqrt{\cos 1 }}\end{align}$$이다.