도쿄대 2019-5(이과)

 

 

 

 

 

 

아래의 각 문제에 답하시오.

(1) $x$에 대한 방정식 $$x^{2n-1}=\cos x$$는 단 하나의 실근 $a_n$을 가짐을 보이시오. (단, $n$은 1 이상의 정수)
(2) (1)의 $a_n$에 대해 $\cos a_n>\cos 1$임을 보이시오.
(3) (1)에서 구한 수열 $\left\{a_n\right\}$에 대해, 
$$\begin{array}{rl}& a=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\\ & b=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n^n\\ & c=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n^n-b}{a_n-a}\end{array}$$

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

(1), (2) 의 경우에는 두 함수의 그래프를 그려서 비교해도 쉽게 알 수 있습니다. 

(3)의 경우에 부정형의 극한인 $c$를 구하는 것이 조금 문제입니다. 식을 변형해서 해결하는 일반적인 방법이 힘들기 때문에, 분모 분자의 형태를 잘 보고 다른 방법을 생각해보시면 좋을 것 같습니다.

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

 

 

(1)

$x$의 범위를 나눠서 생각해보자.

 

$|x|>1$일 때,

$|x^{2n-1}|>1$이고 $|\cos x|\le 1$이므로, 방정식 $x^{2n-1}=\cos x$는 해가 없다.

 

$-1\le x\le 0$일 때,

$x^{2n-1}\le 0$이고 $-\frac{\pi }{2}\le -1$이므로 $\cos x>0$이다. 따라서 방정식 $x^{2n-1}=\cos x$의 해는 없다.

 

이제 $0<x\le 1$에서 방정식 $x^{2n-1}=\cos x$가 단 하나의 실근을 가짐을 보이면 충분하다.

 

$f(x)=x^{2n-1}-\cos x$라 하자. $f^{\prime }(x)=(2n-1)x^{2n-2}+\sin x>0$이므로 $f(x)$는 $0<x\le 1$에서 단조증가함수이다.

이때, $f(1)=1-\cos 1>0$, $f(0)=-1<0$이므로 사잇값정리에 의해 $f(x)=0$는 $0<x<1$에서 단 하나의 실근을 가진다.

 

 

 

 

 

 

(2)

(1)에서 구한 해의 범위가 $0<a_n<1$이므로, $\cos a_n>\cos 1$이다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

(1)에서 구한 $a_n$의 범위가 $0<a_n<1$이고, (2)로부터 $$a_n^{2n-1}=\cos a_n>\cos 1$$이므로,$$(\cos 1{)}^{\frac{1}{2n-1}}<a_n<1$$

이다.  $$\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}(\cos 1{)}^{\frac{1}{2n-1}}=(\cos 1{)}^0=1$$이므로 샌드위치 정리에 의해서 $$a=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=1$$이다.

 

또, $a_n^{2n-1}=\cos a_n$에서 $a_n^n=\sqrt{a_n\cos a_n}$이므로, $$b=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n^n=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{a_n\cos a_n}=\sqrt{\cos 1}$$이다.

 

마지막으로,

$$c=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n^n-b}{a_n-a}=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{a_n\cos a_n}-\sqrt{\cos 1}}{a_n-1}$$의 값을 구하자. $g(x)=\sqrt{x\cos x}$라 하면, $g^{\prime }(x)=\frac{\cos x-x\sin x}{2\sqrt{x\cos x}}$이고$$\underset{x->1}{lim}\frac{\sqrt{x\cos x}-\sqrt{\cos 1}}{x-1}=g^{\prime }(1)=\frac{\cos 1-\sin 1}{2\sqrt{\cos 1}}$$ 이다. 따라서, $$c=\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n^n-b}{a_n-a}=\frac{\cos 1-\sin 1}{2\sqrt{\cos 1}}$$이다.

 

이상으로 $$\begin{array}{rl}& a=1\\ & b=\cos 1\\ & c=\frac{\cos 1-\sin 1}{2\sqrt{\cos 1}}\end{array}$$이다.