도쿄대 2023-3(문과, 이과2번)

 

 

검은 구슬 3개, 빨간 구슬 4개, 흰 구슬 5개가 들어있는 상자에서, 구슬을 한 개씩 꺼내어 순서대로 일렬로 나열하자. 단, 상자에서 각각의 구슬을 고를 확률은 같다.

(i) 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않을 확률 $p$를 구하시오.
(ii) 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않을 때, 어떤 검은 구슬도 이웃하지 않을 조건부 확률 $q$를 구하시오.

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

(i)의 유형은 교과서에서도 매우 자주 나오는 친숙한 유형이다. 하지만 (ii)처럼 두 종류가 모두 이웃하지 않는 경우는 흔치않다.

복잡한 경우의 수 문제의 경우 케이스를 잘게 쪼갤 수록 각각의 계산은 수월해지는 경우가 많다. 생각하길 두려워하지 말고, 먼저 2종류의 구슬을 나열해놓고 남은 한 종류의 구슬을 끼워넣는 방법을 생각해보자!

 

 

 

 

 

풀이

 

(i) 

먼저 12개의 구슬을 일렬로 나열하는 전체 경우의 수를 구하자. 같은 색의 구슬은 구별할 수 없기 때문에, 12개의 자리에서 검은 구슬 3개의 자리를 정하고, 빨간 구슬 4개의 자리를 정하면 남은 5개 자리는 흰 구슬 5개의 차지가 된다.

따라서 전체 경우의 수는 $${}_{12}C_3 \cdot {}_9C_4$$이다.

 

이제 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않을 경우의 수를 구하자. 이 경우 모든 빨간 구슬은 검은 구슬 또는 흰 구슬 사이에 있어야 하므로, 검은 구슬 3개와 흰 구슬 5개를 먼저 나열한 뒤 그 사이에 빨간 구슬을 집어넣으면 쉽게 계산할 수 있다.

검은 구슬 3개와 흰 구슬 5개를 나열하는 경우의 수는 ${}_8C_3$이고, 맨 앞과 맨 뒤를 포함한 9개의 자리 중 빨간 구슬 4개가 들어갈 4 자리를 선택하면 총 경우의 수는 $${}_8C_3 \cdot {}_9C_4$$이다.

그러므로 구하는 확률 $p$는

$$\begin{align} p =& \cfrac{{}_8C_3 \cdot {}_9C_4}{{}_{12}C_3 \cdot{}_9C_4} \\=&\cfrac{8\cdot 7 \cdot 6}{12 \cdot 11 \cdot 10}\\=&\cfrac{14}{55}\end{align}$$

 

 

 

(ii)

두 사건 $A, B$를 아래와 같이 정의하자.

  $A$ : 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않는 사건

  $B$ : 어떤 검은 구슬도 이웃하지 않는 사건

이때, 조건부 확률 $q$는

$$q=P(B|A)=\cfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$$이다.

문제(i)에서 $P(A)=p$를 구했기 때문에 $P(A \cap B)$를 구하면 충분하다. 여기서 $A\cap B$는

 

  $A \cap B$ : 어떤 빨간 구슬도, 어떤 검은 구슬도 이웃하지 않는 사건

 

이다.

 

3종류의 구슬을 생각하긴 아주 어렵기 때문에 먼저 빨간 구슬이 없다고 생각해보자. 검은 구슬 3개가 흰 구슬에 의해 분리되는 방법은 

① 1개, 1개, 1개

② 2개, 1개

③ 3개

의 세 종류가 있고, 중복되는 경우는 발생하지 않는다.

 

 

① 1개, 1개, 1개

흰 구슬 5개를 나열하고 그 사이, 앞, 뒤 6개의 칸에서 3개를 골라 검은 구슬을 1개씩 나열한다. 그 다음 총 8개의 구슬 사이, 앞, 뒤 9개의 칸에서 4개를 골라 빨간 구슬을 1개씩 나열하면 그 경우의 수는

$${}_6C_3 \cdot {}_9C_4$$

이다.

 

② 2개, 1개

흰 구슬 5개를 나열하고 그 사이, 앞, 뒤 6개의 칸에서 2개를 골라 한 칸에는 검은 구슬 2개를, 다른 칸에는 검은 구슬 1개를 나열한다. 이 경우의 수는 ${}_6P_2$이다.

다음으로 8개의 구슬 사이, 앞, 뒤 9개의 칸에서 먼저 이웃한 검은 구슬 2개 사이에 빨간 구슬을 하나 나열하고, 나머지 8개의 칸에서 3개를 골라 빨간 구슬을 1개씩 나열하면 그 경우의 수는 ${}_8C_3$이다. 따라서 ②의 경우의 수는

$${}_6P_2 \cdot {}_8C_3$$

이다.

 

③ 3개

흰 구슬 5개를 나열하고 그 사이, 앞, 뒤 6개의 칸에서 1개를 골라 검은 구슬 3개를 나열하는 경우의 수는 ${}_6C_1$이다.

다음으로 8개의 구슬 사이, 앞, 뒤 9개의 칸에서 먼저 이웃한 검은 구슬 3개 사이에 빨간 구슬을 1 개씩 총 2개를 넣고, 나머지 7개의 칸에서 2개를 골라 빨간 구슬을 1개씩 나열하면 그 경우의 수는 ${}_7C_2$이다. 따라서 ③의 경우의 수는

$${}_6C_1 \cdot {}_7C_2$$

이다. 따라서 (i)의 결과를 참고하면 $q$는

$$\begin{align} q=&\cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \\=&\cfrac{N(A \cap B)}{N(A)}\\=&\cfrac{ {}_6C_3 \cdot {}_9C_4 +{}_6P_2 \cdot {}_8C_3 + {}_6C_1 \cdot {}_7C_2}{{}_8C_3 \cdot {}_9C_4}\\=&\cfrac{20\cdot 126+30\cdot 56+6 \cdot21}{56\cdot 126}\\=&\cfrac{103}{168} \end{align}$$

이다.