도쿄대 2023-3[이과]

 

 

 

 

 

실수 $a$에 대해, 좌표평면 위의 점 $(0,a)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 $C$라고 하자.

1) $C$가 부등식 $y>x^2$을 만족시키도록 하는 $a$의 범위를 구하시오.

2) $a$가 1)에서 구한 범위를 만족한다고 하자. $C$에서 $x \geq 0$이고 $y<a$를 만족하는 부분을 $S$라고 하자. $S$ 위의 점 $P$에서 원 $C$에 그은 접선이 포물선 $y=x^2$에 의해 잘라진 부분의 길이를 $L_P$라고 할 때, $L_Q=L_R$을 만족하는 $S$위의 서로 다른 두 점 $Q, R$이 존재할 $a$의 범위를 구하시오.

 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

문제 1)은 직교좌표계로써 부등식을 세우면 $y$의 범위가 $a$에 따라 달라지기 때문에 판별식으로 해결하기에 설명이 좀 더 길어질 느낌이다. 역시 원 위의 점은 삼각함수를 이용해서 표현하자.

 

문제2)를 해석해보자. $P$가 움직이면 $L_P$가 변하는데, 이게 같은 값을 가지는 경우가 언제인지를 묻고 있다. $L_P$에 대한 함수를 구하고 미분을 통해 그래프 개형을 파악해 보자.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

1)  $C$ 위의 한 점은 $(\cos\theta,a+\sin\theta)$로 나타낼 수 있다. 이 점이 $\theta$에 관계없이 항상$y>x^2$을 만족시키므로

$$\begin{align}a+\sin\theta &> \cos^2\theta\\a&>\sin\theta^2-\sin\theta+1\\a&>-\left(\sin\theta-\cfrac{1}{2}\right)^2+\cfrac{5}{4}\end{align}$$

이때, 우변은 $\sin\theta=\cfrac{1}{2}$일 때 최댓값 $\cfrac{5}{4}$를 가지므로, 구하는 $a$의 범위는 $a> \cfrac{5}{4}$이다.

 

 

 

 

 

2)  $S$ 위의 점 $P$는 $ 0 \leq \theta < \cfrac{\pi}{2}$에 대해,

$$(\sin\theta,a-\cos\theta)$$로 표현가능하고, 이 점에서 $C$에 그은 접선의 기울기는 $\tan\theta$이다.

 

 

 

 

 

 

 

이때, 접선의 방정식은

$$\begin{align}y&=\tan\theta(x-\sin\theta)+a-\cos\theta \\&=x\tan\theta-\cfrac{\sin^2\theta}{\cos\theta}+a-\cfrac{\cos^2\theta}{\cos\theta} \\&=x\tan\theta-\cfrac{1}{\cos\theta}+a\end{align}$$가 된다.

이 접선과 $y=x^2$의 교점의 $x$좌표를 $\alpha,\beta$라 하면, $$x^2-x\tan\theta+\cfrac{1}{\cos\theta}-a=0$$에서 근과 계수와의 관계에 의해,$$\alpha+\beta=\tan\theta, \alpha\beta=\cfrac{1}{\cos\theta}-a$$가 성립한다.

 

이제 $L_P^2$을 구해보자.$$\begin{align}L_P^2&=(\beta-\alpha)^2+(\beta^2-\alpha^2)^2\\&=(\beta-\alpha)^2\{1+(\beta+\alpha)^2\}\\&=\left\{\tan^2\theta-4\left(\cfrac{1}{\cos\theta}-a\right)\right\}\cfrac{1}{\cos^2\theta}\\&=\left(\cfrac{1-\cos^2\theta}{\cos^2\theta}-\cfrac{4}{\cos\theta}+4a\right)\cfrac{1}{\cos^2\theta}\\&=\cfrac{1}{\cos^4\theta}-\cfrac{4}{\cos^3\theta}+\cfrac{4a-1}{\cos^2\theta}\end{align}$$

 

우리의 문제를 다시 생각해보자. $\theta$가 $0\leq \theta < \cfrac{\pi}{2}$에서 움직일 때, $L_P$가 2회 이상 같아지는 $a$를 구하는 것이었다. 이제 $t= \cfrac{1}{\cos\theta}$로 치환하자. 이때, $t$는 1이상의 모든 실수값을 가질 수 있고, $\theta$와 $t$는 일대일 대응이다.

 

마지막 식을 $t$를 이용해서 나타내면 $$t^4-4t^3+(4a-1)t^2$$이다. 이 식을 $f(t)$라고 하자. 원점에서 접하는 4차 함수 $y=f(t)$가 $t \geq1$에서 같은 함숫값을 가지려면 그래프의 개형이 'U자형'이 아닌 'W자형'이어야 한다. 개형을 파악하기 위해 도함수를 구하면 $$\begin{align} f'(t)&=4t^3-12t^2+2t(4a-1)\\&=2t(2t^2-6t+4a-1)\end{align}$$이다.  $2t^2-6t+4a-1=0$의 판별식이 0보다 커야하므로$$\begin{align}(-6)^2-4\cdot2\cdot(4a-1)&>0\\9-2\cdot(4a-1)&>0\\a&<\cfrac{11}{8}\end{align}$$를 얻을 수 있다. 이때, 극값의 $x$좌표를 구하면$$t=\cfrac{3\pm\sqrt{11-8a}}{2}$$인데 극솟값의 $x$좌표가 항상 1보다 큼을 알 수 있다.

따라서 $\cfrac{5}{4}<a<\cfrac{11}{8}$일 때, $y=f(t)$는 $\cfrac{3+\sqrt{11-8a}}{2}$ 전후에서 같은 값을 가진다!

 

이상으로 구하는 범위는 $\cfrac{5}{4}<a<\cfrac{11}{8}$이다.