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본고사

도쿄대 2023-3[이과]

후플 2024. 11. 12. 17:16

 

 

 

 

 

실수 a에 대해, 좌표평면 위의 점 (0,a)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 C라고 하자.

1) C가 부등식 y>x2을 만족시키도록 하는 a의 범위를 구하시오.

2) a가 1)에서 구한 범위를 만족한다고 하자. C에서 x0이고 y<a를 만족하는 부분을 S라고 하자. S 위의 점 P에서 원 C에 그은 접선이 포물선 y=x2에 의해 잘라진 부분의 길이를 LP라고 할 때, LQ=LR을 만족하는 S위의 서로 다른 두 점 Q,R이 존재할 a의 범위를 구하시오.

 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

문제 1)은 직교좌표계로써 부등식을 세우면 y의 범위가 a에 따라 달라지기 때문에 판별식으로 해결하기에 설명이 좀 더 길어질 느낌이다. 역시 원 위의 점은 삼각함수를 이용해서 표현하자.

 

문제2)를 해석해보자. P가 움직이면 LP가 변하는데, 이게 같은 값을 가지는 경우가 언제인지를 묻고 있다. LP에 대한 함수를 구하고 미분을 통해 그래프 개형을 파악해 보자.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

1)  C 위의 한 점은 (cosθ,a+sinθ)로 나타낼 수 있다. 이 점이 θ에 관계없이 항상y>x2을 만족시키므로

a+sinθ>cos2θa>sinθ2sinθ+1a>(sinθ12)2+54

이때, 우변은 sinθ=12일 때 최댓값 54를 가지므로, 구하는 a의 범위는 a>54이다.

 

 

 

 

 

2)  S 위의 점 P0θ<π2에 대해,

(sinθ,acosθ)로 표현가능하고, 이 점에서 C에 그은 접선의 기울기는 tanθ이다.

 

 

 

 

 

 

 

이때, 접선의 방정식은

y=tanθ(xsinθ)+acosθ=xtanθsin2θcosθ+acos2θcosθ=xtanθ1cosθ+a가 된다.

이 접선과 y=x2의 교점의 x좌표를 α,β라 하면, x2xtanθ+1cosθa=0에서 근과 계수와의 관계에 의해,α+β=tanθ,αβ=1cosθa가 성립한다.

 

이제 L2P을 구해보자.L2P=(βα)2+(β2α2)2=(βα)2{1+(β+α)2}={tan2θ4(1cosθa)}1cos2θ=(1cos2θcos2θ4cosθ+4a)1cos2θ=1cos4θ4cos3θ+4a1cos2θ

 

우리의 문제를 다시 생각해보자. θ0θ<π2에서 움직일 때, LP가 2회 이상 같아지는 a를 구하는 것이었다. 이제 t=1cosθ로 치환하자. 이때, t는 1이상의 모든 실수값을 가질 수 있고, θt는 일대일 대응이다.

 

마지막 식을 t를 이용해서 나타내면 t44t3+(4a1)t2이다. 이 식을 f(t)라고 하자. 원점에서 접하는 4차 함수 y=f(t)t1에서 같은 함숫값을 가지려면 그래프의 개형이 'U자형'이 아닌 'W자형'이어야 한다. 개형을 파악하기 위해 도함수를 구하면 f(t)=4t312t2+2t(4a1)=2t(2t26t+4a1)이다.  2t26t+4a1=0의 판별식이 0보다 커야하므로(6)242(4a1)>092(4a1)>0a<118를 얻을 수 있다. 이때, 극값의 x좌표를 구하면t=3±118a2인데 극솟값의 x좌표가 항상 1보다 큼을 알 수 있다.

따라서 54<a<118일 때, y=f(t)3+118a2 전후에서 같은 값을 가진다!

 

이상으로 구하는 범위는 54<a<118이다.

 

 

 

 

 

 

 

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