본고사

도쿄대 2023-4[이과]

후플 2025. 3. 19. 16:44

 

 

 

 

 

 

좌표공간에 네 점 O(0,0,0),A(2,0,0),B(1,1,1),C(1,2,3)O(0,0,0),A(2,0,0),B(1,1,1),C(1,2,3)가 있다.

(1)(1)  OPOA,OPOB,OPOC=1OPOA,OPOB,OPOC=1을 만족하는 점 PP의 좌표를 구하시오.

(2)(2)PP에서 직선 ABAB에 수선을 내리고, 그 수선의 발을 HH라 하자. OHOHOAOAOBOB를 이용해서 나타내시오.

(3)(3)QQOQ=34OA+OPOQ=34OA+OP 라고 정의하자. QQ를 중심으로하고 반지름이 rr인 구면을 SS라고 할 때, SS와 삼각형 OHBOHB가 만나게 되는 rr의 범위를 구하시오.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

(1),(2)(1),(2)는 벡터의 성분과 내적에 대한 기초 지식만 있으면 쉽게 계산할 수 있다. 문제는 (3)(3)인데, 복잡한 공간도형 문제일수록 '평면화'가 가장 중요하다. 삼각형 OHB를 포함하는 평면의 평면도를 그려서 문제를 해결해보자!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

(1)

P의 좌표를 (p,q,r)이라고 하면, OPOA에서 내적이 0이므로2p=0

OPOB에서 p+q+r=0

OPOC에서 p+2q+3r=1

가 성립한다. 연립하면 (p,q,r)=(0,1,1)이다.

 

 

 

 

 

 

(2)

H가 직선 AB 위의 점이므로 OH=(1t)OA+tOB를 만족하는 실수 t가 존재한다. 그러므로 OH=(2t,t,t)이다.

이제 ABPH에서(1,1,1)(2t,t+1,t1)=0(2t)+(t+1)+(t1)=03t=2t=23이므로, OH=13OA+23OB로 표현할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

(3)

먼저 세 점 O,A,B에 의해 결정되는 평면을 α라 하고, OC=34OA라 하자.

(1)로부터 OP는 평면 α에 수직이고, 점 Q에서 평면 α에 내린 수선의 발이 C 라는 것을 알 수 있다. 또, 문제의 조건에서 AB=OB=3이다. 이상의 근거를 바탕으로 평면 α 위의 점들을 그려보면 다음과 같다.

 

 

OPα, PHAB이므로 삼수선의 정리에 의해 OHAB가 성립한다. 이제 점 C에서 직선 OH에 내린 수선의 발을 G라고 하면, CG=|CG|=34AH=3423AB=34233=32

이다. 따라서 r의 최솟값은CQ2+CG2=OP2+34=2+34=112

가 된다.

 

이제 최댓값을 구해보자. OA의 중점을 M이라고 하면,BC=MB2+MC2=2+14=32

이므로 OC=BC가 성립한다. 따라서 S가 두 점 B, O를 지날 때가 최댓값임을 알 수 있다. 이 값은CQ2+BC2=2+94=172

이다.

그러므로 구하는 범위는 112r172 이다.

 

 

 

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