도쿄대 2023-5[이과]

 

 

 

 

 

 

다항식 $f(x)=(x-1{)}^2(x-2)$에 대한 다음 물음에 답하시오.

$(1)$ 실수 계수의 다항식 $g(x)$를 $f(x)$로 나눈 나머지를 $r(x)$라 하자. 이때, $g(x{)}^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지와 $r(x{)}^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지가 같음을 보이시오.

$(2)$ 실수 $a,b$에 대해 $h(x)=x^2+ax+b$라 하자. $h(x{)}^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지를 $h_1(x)$, $h_1(x{)}^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지를 $h_2(x)$라 할 때, $h_2(x)$가 $h(x)$가 되도록 하는 순서쌍 $(a,b)$를 모두 구하시오.

 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

$(2)$는 $(1)$을 활용하는 문제이다. 다항식의 차수에 겁먹을 수도 있지만, 어떤 다항식 $f(x)$가 $(x-a{)}^2$으로 나누어떨어질 필요충분만 정확히 알고 있으면 간단한 연립방정식 문제로 귀결된다.

 

 

 

 

 

풀이

 

$(1)$

$g(x)$를 $f(x)$로 나눈 나머지를 $Q(x)$라 하면 $$g(x)=Q(x)f(x)+r(x)$$가 성립한다. 따라서$$\begin{array}{rl}& g(x{)}^7-r(x{)}^7\\ =& \{g(x)-r(x)\}\{g(x{)}^6+g(x{)}^{5}r(x)+\cdots +g(x)r(x{)}^5+r(x{)}^6\}\\ =& f(x)\cdot Q(x)\{g(x{)}^6+g(x{)}^{5}r(x)+\cdots +g(x)r(x{)}^5+r(x{)}^6\}\end{array}$$에서 $g(x{)}^7-r(x{)}^7$이 $f(x)$로 나누어떨이지므로, $g(x{)}^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지와 $r(x{)}^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지는 같다.

 

 

 

 

 

 

 

 

$(2)$

$(1)$에 의해 $h(x{)}^{49}=\{h(x{)}^7{\}}^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지와 $h_1(x{)}^7$을 $f(x)$로 나눈 나머지 $h_2(x)$는 같다. 그러므로 $h(x)=h_2(x)$인 것은 $h(x{)}^{49}-h(x)$가 $f(x)$로 나누어떨어지는 것과 동치이다. 따라서 이를 만족하는 $h(x)$를 구하자.

 

$P(x)=h(x{)}^{49}-h(x)$라 하면 $P(x)$가 $f(x)=(x-1{)}^2(x-2)$로 나누어떨어질 필요충분조건은 $P(1)=P(2)=P^{\prime }(1)=0$인 것이다.따라서 다음의 세 방정식을 모두 만족시키는 $(a,b)$를 찾으면 된다.

 

$$\begin{array}{rl}& (1+a+b)\{(1+a+b{)}^{48}-1\}=0\\ & (4+2a+b)\{(4+2a+b{)}^{48}-1\}=0\\ & (2+a)\{49(1+a+b{)}^{48}-1\}=0\end{array}$$

 

첫 번째 식으로부터 $1+a+b$는 $0,1,-1$중 하나이므로, 세 번째식과 조합하면 $$a=-2$$라는 결과를 얻을 수 있다. 이를 처음 두 식에 대입하면 $$\begin{array}{rl}& (b-1)\{(b-1{)}^{48}-1\}=0\\ & b(b^{48}-1)=0\end{array}$$가 된다. 두 번째 식을 만족하는 $b$는 $0,1,-1$중 하나인데 이 중에서 첫 번째 식을 만족하는 값은 $0,1$뿐이다. 따라서 구하는 순서쌍은 $$(a,b)=(-2,0),(-2,1)$$이다.