도쿄대 2024-1[문과]

 

 

 

 

 

 

 

좌표평면 위의 포물선 $C : ax^2+bx+c$가 점 $P(\cos\theta,\sin\theta), Q(-\cos\theta,\sin\theta)$를 지나고, 점 $P, Q$에서 각각 원 $x^2+y^2=1$과 공통접선을 가진다. 단, $0^\circ < \theta < 90^\circ$이다.

$\text{(1)}$ $a,b,c$를 $s=\sin\theta$를 이용해 나타내시오.

$\text{(2)}$ 포물선 $C$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $A$를 $s$를 이용해 나타내시오.

$\text{(3)}$ $A \geq \sqrt3$임을 보이시오.

 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

1번 문제답게 어렵지 않은 문제이다. $\text{(1)}$에서는 공통접선이므로 미분을, $\text{(2)}$에서는 둘러싸인 넓이를 물었으니 정적분을 이용하면 충분하다. $\text{(3)}$이 어려워 보일 수도 있지만, 증명해야될 부등식과 동치인 부등식들을 천천히 정리하다보면 자연스럽게 풀릴 것 같다.

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

$\text{(1)}$

선분 $OP$와 $OQ$의 기울기가 각각 $\tan\theta$, $-\tan\theta$이므로, 각 점에서의 원의 접선의 기울기는 각각 $-\cfrac{1}{\tan\theta}, \cfrac{1}{\tan\theta}$이다.

$y=ax^2+bx+c$를 미분하면 $y'=2ax+b$가 되고 두 점 $P, Q$에서 공통접선을 갖기 때문에$$\begin{align} 2a\cos\theta&+b=-\cfrac{1}{\tan\theta}\\-2a\cos\theta&+b=\cfrac{1}{\tan\theta}\end{align}$$라는 두 식이 성립한다. 양변을 더함으로써 $b=0$을 얻을 수 있고, 처음 식에 대입하면$$\begin{align} 2a\cos\theta&=-\cfrac{1}{\tan\theta}=-\cfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\\a&=-\cfrac{1}{2s}\end{align}$$를 얻을 수 있다. 점 $P$가 포물선 $C$위의 점이므로$$\begin{align}a(\cos\theta)^2+b\cos\theta+c&=\sin\theta\\-\cfrac{1}{2s}\cos^2\theta+c&=s \end{align}$$가 된다. 이때 $\cos^2\theta=1-s^2$에서, $$\begin{align}c&=s+\cfrac{1-s^2}{2s}\\&=\cfrac{s^2+1}{2s}\end{align}$$이다.

따라서, $a= -\cfrac{1}{2s}, b=0, c= \cfrac{s^2+1}{2s}$

 

 

 

 

 

 

$\text{(2)}$

포물선과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하기 위해 먼저 교점을 구하면$$\begin{align} ax^2+bx+c&=0\\-\cfrac{1}{2s}x^2+\cfrac{s^2+1}{2s}&=0\\x^2-(s^2+1)&=0\\x&=\pm\sqrt{s^2+1}\end{align}$$이다. $\alpha=\sqrt{s^2+1}$라고 하자. 포물선이 위로 볼록하므로 면적 $A$는$$\begin{align}A&=\int^{\alpha}_{-\alpha}(ax^2+bx+c)dx\\&=\cfrac{1}{2s}\int^{\alpha}_{-\alpha}(-x^2+s^2+1)dx\\&=\cfrac{1}{s}\int^{\alpha}_0(-x^2+s^2+1)dx\\&=\cfrac{1}{s}\left[-\cfrac{x^3}{3}+(s^2+1)x\right]^{\alpha}_0\\&=\cfrac{1}{s}\left(-\cfrac{\alpha^3}{3}+(s^2+1)\alpha \right)\end{align}$$이다. $\alpha=\sqrt{s^2+1}$을 대입하면$$\begin{align}A&=\cfrac{1}{s}\left(- \cfrac{\alpha^3}{3}+\alpha^3\right)\\&=\cfrac{1}{s}\cdot\cfrac{2\alpha^3}{3}\\&=\cfrac{2(s^2+1)^{3/2}}{3s}\end{align}$$이다.

 

 

 

 

 

 

$\text{(3)}$

$$\begin{align}&A \geq \sqrt3 \\ \iff&\cfrac{2(s^2+1)^{3/2}}{3s}\geq\sqrt3\\ \iff&\cfrac{3(s^2+1)^3}{9s^2}\geq 3\\ \iff&4(s^2+1)^3\geq 27s^2\\ \iff&4s^6+12s^4+12s^2+4 \geq 27s^2\\ \iff&4s^6+12s^4-15s^2+4\geq 0\\ \iff&(2s^2-1)(2s^4+7s^2-4)\geq0\\ \iff& (2s^2-1)^2(s^2+4)\geq0 \end{align}$$위의 필요충분조건 관계식으로부터 마지막 부등식이 절대부등식이므로 $A \geq \sqrt3$ 역시 성립하게 된다.