도쿄대 2024-2[문과]

 

 

 

 

 

 

다음 물음에 답하시오. 필요하다면 $0.3<\log2<0.31$이라는 사실을 사용해도 좋다.

$\text{(1)}$ $5^n>10^{19}$이 성립하는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오.

$\text{(2)}$ $5^m+4^m>10^{19}$이 성립하는 자연수 $m$의 최솟값을 구하시오.

 

 

 

 

 

 

 

생각해보기

 

 

$\text{(1)}$은 상용로그 단원의 교과서 예제 정도의 문제이다. 문제는 $\text{(2)}$인데, 어짜피 $4^m$은 $5^m$에 비해 아주 작아서 보잘 것 없다(?)라고 생각하고 접근해보자!

 

 

 

 

 

 

 

풀이

 

 

$\text{(1)}$

$$\begin{align}&5^n>10^{19}\\ \iff&\log5^n>\log10^{19}\\ \iff&n(1-\log2)>19\\ \iff&n>\cfrac{19}{1-\log2}\end{align}$$이때, $$\begin{align}&\cfrac{19}{1-0.3}=\cfrac{19}{0.7}=27.1\cdots \\&\cfrac{19}{1-0.31}=\cfrac{19}{0.69}=27.5\cdots\end{align}$$이므로 $$27.1<\cfrac{19}{1-\log2}<27.6$$가 성립한다. 따라서 $5^n>10^{19}$를 만족하는 가장 작은 자연수는 28이다.

 

 

 

 

 

 

 

$\text{(2)}$

$\text{(1)}$로부터, $5^{28}+4^{28}>10^{19}$가 성립한다. 또, $5^{27}<10^{19}$도 성립한다. 먼저 $5^{27}$에 대해 조사하면$$\begin{align} 5^{27}&=10^{\log5^{27}}\\&=10^{27(1-\log2)}\\&<10^{27\cdot0.7}\\&=10^{18.9}\\&=10^{18}\cdot10^{3\cdot0.3}\\&<10^{18}\cdot10^{3\log2}\\&=8\cdot10^{18}\end{align}$$이므로 $5^{27}<8\cdot 10^{18}$가 성립한다. 이번에는 $4^{27}$에 대해 조사하면$$\log4^{27}=54\log2<54\cdot0.31=16.74$$이므로 $4^{27}<10^{17}$이 성립한다. 따라서$$5^{27}+4^{27}<8\cdot10^{18}+10^{17}<10^{19}$$이므로, $5^{m}+4^m>10^{19}$이 성립하는 가장 작은 자연수는 28이다.