도쿄대 2023-4(문과)

반지름 1인 구 위의 네 점 $A,B,C,D$가$$\begin{gathered} AB=1,AC=BC,AD=BD, \\ \cos \mathrm{\angle }ACB=\cos \mathrm{\angle }ADB=\frac{4}{5} \end{gathered}$$를 만족하고 있다.

(i) 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오.
(ii) 사면체 $ABCD$의 부피를 구하시오.

 

 

 

 

 

생각해보기

 

'문과' 시험인데도 불구하고 공간좌표가 시험범위라는 사실이 굉장히 낯설게 느껴집니다. 도쿄대 문과생들에게는 공간지각능력도 요구되는 모양입니다. (i)에서 $ABC$의 넓이를 구하는 것은 어렵지 않습니다. (i)을이용하여 (ii)에서 부피를 구해야 되니까, 점 $D$에서 평면 $ABC$까지의 거리를 구하는 것이 관건이 되겠네요. 공간도형 문제는 항상 평면화하여 해결합시다! 사실 공간지각능력따윈 중요하지 않을지도 모릅니다.

 

 

 

 

풀이

 

(i)

$xyz$-좌표공간에 원점 $O$를 중심으로 하는 반지름 1의 구를 생각하자. 네 점 $A,B,C,D$는 이 구 위에 있다. 또, 삼각형 $ABC$가 정삼각형이므로,

$$A(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{1}{2}),B(\frac{\sqrt{3}}{2},0,-\frac{1}{2})$$

로 잡을 수 있다.

이때, $xy$-평면이 선분 AB를 수직이등분하기 때문에 $AC=BC$, $AD=BD$를 만족하는 점 $C,D$는 $xy$-평면 위의 점이다. 선분 $AB$의 중점을 $M$이라고 하면, $M$도 $xy$-평면 위의 점이다.

 

$AC=a$라 하고 코사인법칙을 사용하면,

$$\begin{array}{rl}& 1^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot \cos \mathrm{\angle }ACB\\ & 1=2a^2-2a^2\cdot \frac{4}{5}\\ & 1=\frac{2}{5}{a}^2\\ & a^2=\frac{5}{2}\end{array}$$

에서 $AC=\frac{\sqrt{10}}{2}$이고 $CM=\frac{3}{2}$이다.

따라서 삼각형 $ABC$의 넓이는

$$\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CM=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$$

이다.

 

 

 

(ii)

(i)의 결과에 이어서 생각하자. 먼저 $M$의 좌표는 $(\frac{\sqrt{3}}{2},0,0)$이고, $C$는 $CM=\frac{3}{2}$를 만족하는 좌표 $(c,\sqrt{1-c^2},0)$이므로,

$$\begin{array}{rl}{(c-\frac{\sqrt{3}}{2})}^2+(1-c^2)& =\frac{9}{4}\\ c^2-\sqrt{3}c+\frac{3}{4}+(1-c^2)& =\frac{9}{4}\\ -\sqrt{3}c& =\frac{1}{2}\\ c& =-\frac{1}{2\sqrt{3}}\end{array}$$

이다. 또한 $C$와 $D$는 서로 대칭이기 때문에 그 좌표를 각각 $C=(-\frac{1}{2\sqrt{3}},\frac{\sqrt{1}1}{2\sqrt{3}},0)$, $D=(-\frac{1}{2\sqrt{3}},-\frac{\sqrt{1}1}{2\sqrt{3}},0)$라 할 수 있다.

삼각형 $CDM$의 넓이를 구하면,

$$2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{1}1}{2\sqrt{3}}\cdot (\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{\sqrt{11}}{3}$$

이다. 이제 점 $D$에서 $CM$에 내린 수선의 길이를 $h$라 하면, 

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\cdot CM\cdot h& =\frac{\sqrt{1}1}{3}\\ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot h& =\frac{\sqrt{1}1}{3}\\ h& =\frac{4\sqrt{11}}{9}\end{array}$$

이다. 여기서 구한 $h$는 $D$에서 평면 $ABC$까지의 거리와 같기 때문에 사면체 $ABCD$의 부피는,

$$\frac{1}{3}\cdot \frac{4\sqrt{11}}{9}\cdot \frac{3}{4}=\frac{\sqrt{11}}{9}$$

이다.