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오사카대 2020-2(문과)

원주를 3등분 한 점들을 시계방향으로 A, B, C라 하자. 점 QA에서 출발하여 A, B, C로 다음 조건에 맞춰 이동한다. 1개의 주사위를 던져 1의 눈이 나오면 시계방향으로 한 칸 이동하고, 2의 눈이 나오면 반시계방향으로 한 칸 이동한다. 이외의 눈이 나오면 이동하지 않는다. 주사위를 n회 던졌을 때 QA에 위치할 확률을 pn이라 할 때, 아래의 문제에 답하시오. (1) p2를 구하시오. (2) pn+1pn으로 나타내시오. (3) pn을 구하시오. 생각해보기 주어진 점이 4개만 됬어도 계산이 훨씬 복잡했을텐데, 이 문제는 세팅이 아주 단순해서 쉬운문제라고 할 수 있다. 점화식 역시 가장 기초적인 형태이기 때문에 어렵지..

본고사 2021.08.13

교토대 2020-6(이과)

xz 평면 상의 곡선 z=log(1+x)(0x1)z축을 축으로 1회전 시킨 곡면을 S라 하자. 이 Sx축을 축으로 1회전 시킨 입체도형을 V라 할 때, V의 부피를 구하시오. 생각해보기 혹자는 회전시킨 도형을 다시 한 번 회전시켜서 부피를 구하라고 해서 지레 겁 먹을지도 모르겠다. 요즘 우리나라 고등학교 적분문제들을 봐도 회전체의 부피를 구하는 문제가 확실히 많이 줄어든 것 같아 더 그럴 것 이다. 하지만 사실 회전체의 부피를 구하는 문제는, 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면적만 구할 수 있다면 단순 계산이 돼버리는 경우가 많다. 필자의 컴퓨터 능력이 좋았다면 3D 애니메이션을 동원해서 회전체의 모습을 보여주..

본고사 2021.08.10

교토대 2020-5(문과, 이과 공통)

가로 4칸, 세로 4칸의 4 × 4의 보드판을 1, 2, 3, 4의 네 숫자들로 채우자. 이 보드판의 가로를 '행', 세로를 '열'이라고 할 때, 모든 행 또는 열에 1, 2, 3, 4 가 정확히 한 번씩 들어가도록 하는 방법의 경우의 수를 구하시오. 생각해보기 개인적으로 아주 반가운 문제이다. 스도쿠를 좋아하는 필자 입장에서 이 문제는 4×4 스도쿠의 가짓수를 묻는 것과 비슷해서인데... (물론 주어진 상황만 비슷할 뿐 실제 스도쿠의 가짓수랑은 차이가 크다.) 기쁜 마음은 제쳐두고, 이 문제는 숫자들이 한 번 씩만 들어간다는 조건을 사용하면 마치 수형도를 이용하는 풀이와 비슷하게 풀 수 있다. 풀이 보드판의 1행에 가 쓰여져 있다고 가정해보자. 이때, 와 같은 열에 같은 숫자..

본고사 2021.08.09

교토대 2020-4(이과)

양의 정수 aa=3bc(bc는 정수이고 c는 3으로 나누어떨어지지 않는다.)의 꼴일 때, B(a)=b라 정의하자. 예를 들어, B(325)=2이다. 이제 다음 두 조건을 만족하는 정수쌍 (m,n)에 대하여 ① 1m,n30n은 3으로 나누어떨이지지 않는다. f(m,n)=m3+n2+n+3 라 할 때, A(m,n)=B(f(m,n)) 의 최댓값을 구하시오. 또 A(m,n)이 최댓값을 가질 때의 순서쌍 (m,n)을 모두 구하시오. 생각해보기 B(a)a를 소인수분해 하였을 때 나오는 3의 개수를 묻는 함수이다. 귀찮은 문제가 되겠지만, 3으로 나눈 나머지에 따라..

본고사 2021.08.08

교토대 2020-4(문과) (이과3)

원점 O를 중심으로 하고 반지름이 1인 구 위의 네 점 A, B, C, D가 다음의 관계식을 만족한다. $$OAOB=OCOD=12OAOC=OBOC=64OAOD=OBOD=k..

본고사 2021.08.06

교토대 2020-2(이과)

양의 정수 p에 대해 다음의 방정식 x22px1=0의 두 근을 α, β라 하자. |α|>1라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 모든 양의 정수 n에 대해, αn+βn는 짝수임을 증명하시오. (2) lim를 구하시오. 생각해보기 (1) 같은 경우는 귀납법을 써서 증명하자는 생각만 할 수 있다면, 간단히 식을 변형하며 증명해낼 수 있다. 진짜 문제는 (2)이다. 분명 문제의 가정에서 |\alpha| >1이라 했는데, 그러면 \alpha ^n는 무한대로 발산할 것이고, \sin과 곱한다고 해서 특..

본고사 2021.08.03

교토대 2020-1(이과)

실수 a, bz에 대한 다음의 방정식 z^3 +3az^2 +bz +1 =0 \qquad (\star) 의 서로 다른 세 근이 복소평면 상에서 한 변의 길이가 \sqrt 3 a인 정삼각형을 이룬다. 이때, a, b(\star)의 세 근을 모두 구하시오. 생각해보기 고등수학 (상)의 내용으로부터 (\star)는 실수 계수의 3차 방정식이기 때문에 반드시 실근이 존재한다. 그리고 나머지 두 근은 문제의 조건을 부터 켤레복소수일 수 밖에 없다. 따라서 처음 세 근을 \alpha , \beta , \gamma가 아닌 \alpha , \beta , \bar{\beta}로 두고 시작할 수 있다. 풀이 (\star)의 세 근을 \alpha, \beta, $\bar{..

본고사 2021.08.02

교토대 2020-3(문과)

홀수 a와 정수 m, n에 대해, f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8이 16으로 나누어 떨어지는 정수 쌍 (m,n)이 존재하기 위한 a의 조건을 구하시오. 생각해보기 a는 홀수로 m,n은 정수로 주어졌으니 제일 먼저 체크할 것은 'm,n의 홀짝은 어떻게 될까?' 이다. 16으로 나누어떨어진다는 것을 너무 어렵게 생각하지 않아도 될 것 같다. 단지 2로 3번 나누어도 남은 수는 짝수임이 보장된다는 것이다. (더 어렵게 말했을 수도... ?) 풀이 f(m,n)=(m+1)n^2+am^2+8가 16으로 나누어떨어진다고 가정하자. m이 홀수이면 (m+1)n^2+8은 짝수, am^2은 홀수이므로 f(m,n)은 홀수가 되고 16으로 나누어떨어질 수 없다. m..

본고사 2021.08.01
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