후플 Math

1) 2이상의 정수 $n$에 대해 $3^n-2^n$이 소수이면 $n$도 소수임을 보여라. 2) 1이상의 상수 $a$에 대해 미분 가능한 함수 $f(x)$가 $f(a)=af(1)$을 만족하면, $y=f(x)$는 원점을 지나는 접선을 가짐을 보여라. 생각해보기) 1) 이 문제와 같이 주어진 명제를 그 자체로 증명하기 힘들 땐, 동치인 대우명제를 생각해보면 된다. 그리고 많은 경우에 문제가 쉬워지는걸 볼 수 있을 것이다. 2) 뭔가 평균값정리를 쓴다는 것 까진 감이 왔다면 반은 해결한 것이다. 문제는 평균값정리를 적용할 함수 $g(x)$를 찾는 것인데, 결국 이런 류의 문제를 많이 풀어보고 주어진 조건의 모양을 잘 살펴볼 수 밖에 없다. 풀이) 1) 대우 명제 $n$이 소수가 아니면 $3^n-2^n$이 소수가..

곡선 $y=\log(1+\cos x) \quad (0 \leq x \leq \cfrac{\pi}{2})$ 의 길이를 구하여라. 생각해보기) 곡선의 길이를 구하는 공식은 모두 알고 있을 것이다. 문제는 피적분함수를 간단한 형태로 변형하는 것인데, 이번 문제에서 사용한 반각공식, 부분분수는 아주 많이 사용되는 테크닉이니 반드시 잘 익혀둬야한다. 풀이) $f(x) =\log(1+\cos x)$에 대한 곡선의 길이는 $$\int_0^{\pi/2} \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$ 이다. 먼저 피적분함수를 간단히 해보자. $$\begin{align} &\sqrt{1+(f'(x))^2} \\ &=\sqrt{1+(\cfrac{-\sin x}{1+ \cos x})^2} \\&= \cfrac{\sqrt{2+2\c..

$y=\cfrac{1}{2}(x^2+1)$ 위의 한 점 $P$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $Q$라고 할 때, 선분 $PQ$ 길이의 최솟값을 구하여라. 생각해보기) 간단한 풀이가 따로 있는 문제가 아니다. 계산 실수에 유의하며 미분을 잘 하는 수 밖에 없다. 굳이 팁이라면 선분 $PQ$의 길이를 점과 점 사이의 거리를 이용해서 구하기보다, 기울기를 이용한 닮음으로 구하면 조금 간단해진다 정도랄까? 풀이) 주어진 함수의 그래프가 $y$축 대칭이므로, 우리는 일반성을 잃지않고 $P$의 $x$좌표 $p$를 양수라고 생각해도 무방하다. $y'=x$이므로 $P$에서의 접선의 방정식은 $y=p(x-p)+\cfrac{1}{2}(p^2+1)=px-\cfrac{p^2}{2}+{1}{2}$이고, $Q$의 $x$좌표..

좌표평면 위에 곡선 $$C :y=x^3-3ax^2+b \quad (a>0,b>0)$$ 가 아래의 두 조건을 만족한다. 조건 1 : $C$는 $x$축에 접한다. 조건 2 : $x$축과 $C$로 둘러싸인 영역 안에 $x,y$좌표가 모두 정수인 점은 1개 뿐이다. (경계선 위의 점은 제외) 이 때, $b$를 $a$로 나타내고, $a$의 범위를 구하여라. 생각해보기) 어렵게 나오는 경우도 종종 있는 '격자점' 문제이다. 하지만 이 문제는 조건을 만족하는 단 하나의 점이 $(0,1)$일 수 밖에 없다는 사실이 다소 쉽게 밝혀지는 문제이다. 풀이) 먼저 $f(x)$를 미분하고 증감표를 그려서 그래프의 개형을 알아보자. $f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)$에서 극댓값 $f(0)=b$ 가 양수이므로 $f(x)..

양의 실수 $\alpha$와 $0 \leq \theta \leq \pi$ 위의 함수 $f(\theta)$를 두 점 $A(-\alpha,-3), P(\theta + \sin {\theta}, \cos {\theta})$ 사이의 거리의 제곱으로 정의하자. (1) $00$이고, $\gamma< \theta < \pi $에서는 $f'(\theta)

생각해보기) 그냥 평범한 계산문제이다. (2) 문제는 기하학적 의미라던가 그런걸 묻는 것 처럼 보이지만, 그냥 계산 문제인 것 같다. 풀이)

원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원과 곡선 의 교점이 6개 존재할 때, 양수 a의 범위를 구하여라. 생각해보기) 두 함수의 교점에 대한 문제 자체는 매우 흔하지만, 그 대상이 3차 함수와 원인 경우는 그리 흔치 않다. 교점 문제는 보통 그래프를 그려서 이해하거나 푸는게 일반적이다. 그러나 막상 이 문제를 접점을 구한다던가 하는 식으로 시도해보려하면 쉽지 않다. ( 접할 때의 접점이 3차 함수의 극값이 아님!!) 따라서 오히려 단순하게 연립방정식을 세워서 품으로써 답을 구할 수 가 있었다. 풀이)