후플 Math

부등식 $$ |x| +|y| \leq 1 $$의 영역을 $D$라 하자. 점 $P$, $Q$가 영역 $D$ 위를 움직일 때, $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}$를 만족하는 점 $R$의 자취의 영역을 $E$라 하자. (1) 영역 $D$, $E$를 각각 그리시오. (2) 실수 $a$, $b$에 대해, 부등식 $$|x-a| +|y-b| \leq 1$$의 영역을 $F$라 하자. 점 $S$, $T$가 영역 $F$ 위를 움직일 때, $\overrightarrow{OU}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OT}$를 만족하는 점 $U$의 자취의 영역을 $G$라 하자. 이때, $G$와 $E$가 일치함을 보이시오. ..

좌표평면에서 점 $A(2,2)$를 지나고 선분 $OA$에 수직인 직선을 $l$이라고 하자. 점 $P(p,q)$가 다음의 두 조건을 만족시키면서 움직인다. 조건 1 : $8\leq \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP} \leq 17$ 조건 2 : 점 $O$와 직선 $l$의 거리를 $c$, 점 $P(p,q)$와 직선 $l$의 거리를 $d$라고 할 때, $cd \geq (p-1)^2$ 이때, $P$가 움직인 영역을 $D$, $x$축의 양의 방향과 선분 $OP$가 이루는 각도를 $\theta$라 하자. (1) $D$를 나타내고, 그 넓이를 구하여라. (2) $\cos \theta$의 범위를 구하여라. 생각해보기 문제가 길긴하지만, 각각의 조건이 주는 식 자체는 간단하다..

양의 실수 $t$에 대해, 아래 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 $S(t)$라고 하자. $$x \geq 0,\quad y\geq 0 , \quad xy \leq 1 ,\quad x+y \leq t$$ 이때, $\displaystyle\lim _{t \to \infty}(S(t)-2\log t )$를 구하시오. 생각해보기 우리나라 학생들에게 여전히 낯선 부등식의 영역 문제이다. $t$의 값에 따라 생기는 영역의 모습이 변할까봐 고민하지말자. 어짜피 구하는 극한값은 한없이 큰 $t$에 극한값이므로, 적당히 크고 일반적인 $t$에 대한 그래프의 개형에서 출발하면 충분하다. 풀이 $t>2$에 대해, 주어진 부등식의 영역을 나타낸 그래프는 아래와 같다. 먼저 영역의 경계인 두 식 $xy=1$과 $x+y=t$를..

생각해보기) 먼저 그래프의 영역을 그리는 공간이 (1)은 ab-평면, (2)는 xy-평면 임에 유의 하여야 한다. (1)은 이차함수의 근의 분리를 통해 쉽게 구할 수 있는데, (1) 에서 구한 'ab-평면 위의 영역'으로부터 (2)를 위한 'xy-평면 위의 자취'를 구해야 하는 문제이다. 풀이) 이상의 4가지 경우를 xy 평면 위에 그리면 아래와 같이 된다.