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정수론 4

교토대 2020-4(이과)

양의 정수 aa=3bc(bc는 정수이고 c는 3으로 나누어떨어지지 않는다.)의 꼴일 때, B(a)=b라 정의하자. 예를 들어, B(325)=2이다. 이제 다음 두 조건을 만족하는 정수쌍 (m,n)에 대하여 ① 1m,n30n은 3으로 나누어떨이지지 않는다. f(m,n)=m3+n2+n+3 라 할 때, A(m,n)=B(f(m,n)) 의 최댓값을 구하시오. 또 A(m,n)이 최댓값을 가질 때의 순서쌍 (m,n)을 모두 구하시오. 생각해보기 B(a)a를 소인수분해 하였을 때 나오는 3의 개수를 묻는 함수이다. 귀찮은 문제가 되겠지만, 3으로 나눈 나머지에 따라..

본고사 2021.08.08

교토대 2021-6(이과)

1) 2이상의 정수 n에 대해 3n2n이 소수이면 n도 소수임을 보여라. 2) 1이상의 상수 a에 대해 미분 가능한 함수 f(x)f(a)=af(1)을 만족하면, y=f(x)는 원점을 지나는 접선을 가짐을 보여라. 생각해보기) 1) 이 문제와 같이 주어진 명제를 그 자체로 증명하기 힘들 땐, 동치인 대우명제를 생각해보면 된다. 그리고 많은 경우에 문제가 쉬워지는걸 볼 수 있을 것이다. 2) 뭔가 평균값정리를 쓴다는 것 까진 감이 왔다면 반은 해결한 것이다. 문제는 평균값정리를 적용할 함수 g(x)를 찾는 것인데, 결국 이런 류의 문제를 많이 풀어보고 주어진 조건의 모양을 잘 살펴볼 수 밖에 없다. 풀이) 1) 대우 명제 n이 소수가 아니면 3n2n이 소수가..

본고사 2021.06.01

교토대 2021-5(문과)

p가 소수면 p4+14는 소수가 아님을 보이시오. 생각해보기) 우리나라의 일반 수험생들 입장에서는 잘 보지못한 생소한 문제일 것 이다. '정수의 분류' 라고 해서 모든 정수를 특정 수로 나눈 나머지를 기준으로 나눌 수 있다. 대표적인것이 짝수(2로 나눈 나머지 0), 홀수(2로 나눈 나머지 1)로의 분류이고, 이 문제에서는 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2인 세 그룹으로 소수를 분류하여 문제를 쉽게 풀어냈다. (물론 3으로 나눈 나머지가 0인 그룹은 3의 배수로 소수가 아니기 때문에 본 풀이에서 다루지 않았다.) 풀이) 소수 p=3이면 p4+14=95는 소수가 아니다. 이제 p3 인 경우에 p=3q+r 로 둘 수 있다. (r= 1 or 2) $p^2 = (3q+r..

본고사 2021.05.29
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