후플 Math

양의 정수 $a$가 $$a=3^bc \qquad \text{($b$, $c$는 정수이고 $c$는 3으로 나누어떨어지지 않는다.)}$$의 꼴일 때, $B(a)=b$라 정의하자. 예를 들어, $B(3^2\cdot5)=2$이다. 이제 다음 두 조건을 만족하는 정수쌍 $(m, n)$에 대하여 ① $1 \leq m, n \leq 30$ ② $n$은 3으로 나누어떨이지지 않는다. $$f(m,n)=m^3 +n^2 +n+3$$ 라 할 때, $$A(m,n)=B(f(m,n))$$ 의 최댓값을 구하시오. 또 $A(m,n)$이 최댓값을 가질 때의 순서쌍 $(m,n)$을 모두 구하시오. 생각해보기 $B(a)$는 $a$를 소인수분해 하였을 때 나오는 3의 개수를 묻는 함수이다. 귀찮은 문제가 되겠지만, 3으로 나눈 나머지에 따라..

정수 $a, b, c$에 대한 다음 조건(*)이 주어져 있다. $$\int_a^c (x^2+bx)dx=\int_b^c (x^2+ax)dx \quad (*)$$ 1) 정수 $a, b, c$가 조건 (*)를 만족하고 $a \neq b$이면 $c$는 3의 배수임을 보여라. 2) $c=3600$ 일 때, 조건 (*)와 $a

1) 2이상의 정수 $n$에 대해 $3^n-2^n$이 소수이면 $n$도 소수임을 보여라. 2) 1이상의 상수 $a$에 대해 미분 가능한 함수 $f(x)$가 $f(a)=af(1)$을 만족하면, $y=f(x)$는 원점을 지나는 접선을 가짐을 보여라. 생각해보기) 1) 이 문제와 같이 주어진 명제를 그 자체로 증명하기 힘들 땐, 동치인 대우명제를 생각해보면 된다. 그리고 많은 경우에 문제가 쉬워지는걸 볼 수 있을 것이다. 2) 뭔가 평균값정리를 쓴다는 것 까진 감이 왔다면 반은 해결한 것이다. 문제는 평균값정리를 적용할 함수 $g(x)$를 찾는 것인데, 결국 이런 류의 문제를 많이 풀어보고 주어진 조건의 모양을 잘 살펴볼 수 밖에 없다. 풀이) 1) 대우 명제 $n$이 소수가 아니면 $3^n-2^n$이 소수가..

$p$가 소수면 $p^4+14$는 소수가 아님을 보이시오. 생각해보기) 우리나라의 일반 수험생들 입장에서는 잘 보지못한 생소한 문제일 것 이다. '정수의 분류' 라고 해서 모든 정수를 특정 수로 나눈 나머지를 기준으로 나눌 수 있다. 대표적인것이 짝수(2로 나눈 나머지 0), 홀수(2로 나눈 나머지 1)로의 분류이고, 이 문제에서는 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2인 세 그룹으로 소수를 분류하여 문제를 쉽게 풀어냈다. (물론 3으로 나눈 나머지가 0인 그룹은 3의 배수로 소수가 아니기 때문에 본 풀이에서 다루지 않았다.) 풀이) 소수 $p=3$이면 $p^4+14=95$는 소수가 아니다. 이제 $p \neq 3$ 인 경우에 $p=3q+r$ 로 둘 수 있다. ($r$= 1 or 2) $p^2 = (3q+r..