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아래의 각 문제에 답하시오. (1) $x$에 대한 방정식 $$x^{2n-1} =\cos x $$는 단 하나의 실근 $a_n$을 가짐을 보이시오. (단, $n$은 1 이상의 정수) (2) (1)의 $a_n$에 대해 $\cos a_n > \cos 1 $임을 보이시오. (3) (1)에서 구한 수열 $\left\{ a_n \right\}$에 대해, $$\begin{align} &a= \lim_{n->\infty} a_n \\&b=\lim_{n->\infty}a_n ^n \\&c=\lim_{n->\infty}\cfrac{a_n ^n -b}{a_n -a}\end{align}$$ 생각해보기 (1), (2) 의 경우에는 두 함수의 그래프를 그려서 비교해도 쉽게 알 수 있습니다. (3)의 경우에 부정형의 극한인 $c$를..

양의 실수 $t$에 대해, 아래 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 $S(t)$라고 하자. $$x \geq 0,\quad y\geq 0 , \quad xy \leq 1 ,\quad x+y \leq t$$ 이때, $\displaystyle\lim _{t \to \infty}(S(t)-2\log t )$를 구하시오. 생각해보기 우리나라 학생들에게 여전히 낯선 부등식의 영역 문제이다. $t$의 값에 따라 생기는 영역의 모습이 변할까봐 고민하지말자. 어짜피 구하는 극한값은 한없이 큰 $t$에 극한값이므로, 적당히 크고 일반적인 $t$에 대한 그래프의 개형에서 출발하면 충분하다. 풀이 $t>2$에 대해, 주어진 부등식의 영역을 나타낸 그래프는 아래와 같다. 먼저 영역의 경계인 두 식 $xy=1$과 $x+y=t$를..

양의 정수 $p$에 대해 다음의 방정식 $x^2 -2px-1=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하자. $|\alpha|>1$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 모든 양의 정수 $n$에 대해, $\alpha ^n +\beta ^n$는 짝수임을 증명하시오. (2) $\displaystyle \lim _{n \to \infty} (-\alpha)^n \sin (\alpha ^n \pi)$를 구하시오. 생각해보기 (1) 같은 경우는 귀납법을 써서 증명하자는 생각만 할 수 있다면, 간단히 식을 변형하며 증명해낼 수 있다. 진짜 문제는 (2)이다. 분명 문제의 가정에서 $|\alpha| >1$이라 했는데, 그러면 $\alpha ^n$는 무한대로 발산할 것이고, $\sin$과 곱한다고 해서 특..

자연수 $n$과 $t \geq 1$인 실수 $t$에 대해 다음 물음에 답하시오. 1) $x \geq t$ 일 때 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $$-\cfrac{(x-t)^2}{2} \leq \log x - \log t - \cfrac{1}{t}(x-t) \leq 0$$ 2) 다음 부등식이 성립함을 보여라. $$- \cfrac{1}{6n^3} \leq \int_{t}^{t+ \frac{1}{n}}\log x dx - \cfrac{1}{n}\log t - \cfrac{1}{2tn^2}\leq 0$$ 3)$$ a_n= \sum_{k=0}^{n-1}\log \left( 1+\cfrac{k}{n}\right)$$ 일 때, $ \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(a_n -pn)=q$..