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극한 4

도쿄대 2019-5(이과)

아래의 각 문제에 답하시오. (1) x에 대한 방정식 x2n1=cosx는 단 하나의 실근 an을 가짐을 보이시오. (단, n은 1 이상의 정수) (2) (1)의 an에 대해 cosan>cos1임을 보이시오. (3) (1)에서 구한 수열 {an}에 대해, a=lim 생각해보기 (1), (2) 의 경우에는 두 함수의 그래프를 그려서 비교해도 쉽게 알 수 있습니다. (3)의 경우에 부정형의 극한인 c를..

본고사 2022.01.25

오사카대 2020-4(이과)

양의 실수 t에 대해, 아래 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 S(t)라고 하자. x \geq 0,\quad y\geq 0 , \quad xy \leq 1 ,\quad x+y \leq t 이때, \displaystyle\lim _{t \to \infty}(S(t)-2\log t )를 구하시오. 생각해보기 우리나라 학생들에게 여전히 낯선 부등식의 영역 문제이다. t의 값에 따라 생기는 영역의 모습이 변할까봐 고민하지말자. 어짜피 구하는 극한값은 한없이 큰 t에 극한값이므로, 적당히 크고 일반적인 t에 대한 그래프의 개형에서 출발하면 충분하다. 풀이 t>2에 대해, 주어진 부등식의 영역을 나타낸 그래프는 아래와 같다. 먼저 영역의 경계인 두 식 xy=1x+y=t를..

본고사 2021.09.02

교토대 2020-2(이과)

양의 정수 p에 대해 다음의 방정식 x^2 -2px-1=0의 두 근을 \alpha, \beta라 하자. |\alpha|>1라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 모든 양의 정수 n에 대해, \alpha ^n +\beta ^n는 짝수임을 증명하시오. (2) \displaystyle \lim _{n \to \infty} (-\alpha)^n \sin (\alpha ^n \pi)를 구하시오. 생각해보기 (1) 같은 경우는 귀납법을 써서 증명하자는 생각만 할 수 있다면, 간단히 식을 변형하며 증명해낼 수 있다. 진짜 문제는 (2)이다. 분명 문제의 가정에서 |\alpha| >1이라 했는데, 그러면 \alpha ^n는 무한대로 발산할 것이고, \sin과 곱한다고 해서 특..

본고사 2021.08.03

오사카대 2021-3(이과)

자연수 nt \geq 1인 실수 t에 대해 다음 물음에 답하시오. 1) x \geq t 일 때 다음 부등식이 성립함을 보이시오. -\cfrac{(x-t)^2}{2} \leq \log x - \log t - \cfrac{1}{t}(x-t) \leq 0 2) 다음 부등식이 성립함을 보여라. - \cfrac{1}{6n^3} \leq \int_{t}^{t+ \frac{1}{n}}\log x dx - \cfrac{1}{n}\log t - \cfrac{1}{2tn^2}\leq 0 3) a_n= \sum_{k=0}^{n-1}\log \left( 1+\cfrac{k}{n}\right) 일 때, \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(a_n -pn)=q..

본고사 2021.06.11
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