후플 Math

(1) $A>1$일 때, $\theta$에 대한 방정식 $$A\sin2\theta - \sin (\theta +\alpha)=0$$ 은 $0 \leq \theta

좌표공간에서 $xy$-평면 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원이 있다. 이 원을 밑면으로 하고 $(0, 0, 2)$를 꼭짓점으로 하는 원뿔을 $S$라고 하자.(원뿔의 내부도 포함한다.) 점 $A(1, 0 ,2)$에 대한 다음 물음에 답하시오. (1) 점 $P$가 $S$의 밑면 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분을 $T$라 하자. $S$가 평면 $z=1$에 의해 잘린 단면과 $T$가 $z=1$에 의해 잘린 단면을 한 평면 위에 그리시오. (2) 점 $P$가 $S$ 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분의 부피를 구하시오. 생각해보기 입체에 대한 문제는 거의 항상 단면을 살펴봐야한다. 처음부터 (2)를 풀기가 힘들기 때문에 일종의 힌트로 (1)번 문제가 나와있다. 즉, (1)에서..

$n, k$는 $1 \leq k \leq n$을 만족하는 정수이다. $n$개의 정수 $$2^m \qquad (m = 0,1,2,\cdots , n-1)$$ 중 서로 다른 $k$개를 고르고 그것들을 곱하자. $k$개를 고르는 모든 경우의 수에 대해 같은 방법으로 얻은 $_nC_k$개의 정수들의 합을 $a_{n,k}$라 하자. 예를 들어, $$a_{4,3} = 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 + 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^3+ 2^0 \cdot 2^2 \cdot 2^3+ 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 120$$ 이다. 1) 2 이상의 정수 $n$에 대해, $a_{n,2}$를 구하시오. 2) 1 이상의 정수 $n$에 대해, $f_n(x)$를 $$f_n(x) = 1+a_{n..

$-1 \leq t \leq 1$ 인 실수 $t$에 대하여, $$x(t) =(1+t)\sqrt{1+t}$$ $$y(t)=3(1+t)\sqrt{1-t}$$ 라 하고 좌표평면 위의 점 $P(x(t),y(t))$를 생각하자. 1) $-1

한 평면 위의 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있지 않을 때, 그 세 점을 연결한 삼각형의 넓이를 $\triangle PQR$ 이라고 하자. 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있을 때는 $\triangle PQR =0$라고 하자.$\triangle ABC = 1$인 세 점 $A, B, C$가 한 평면 위에 있다. 이 평면 위의 점 $X$가 $$2 \leq \triangle ABX + \triangle BCX + \triangle CAX \leq 3$$ 을 만족하면서 움직일 때, $X$가 움직일 수 있는 영역의 넓이를 구하여라.      생각해보기  주어진 조건이라고는 삼각형의 넓이 밖에 없는 상황이다. 그래서 무작정 좌표를 써서 문제를 풀 수도 없다. 황당한 문제인 것 같지만, 일단 그림을 ..

실수 $a,b,c$에 대한 연립부등식 $$\left\{\begin{align}&ax^2+bx+c>0\\&bx^2+cx+a>0\\&cx^2+ax+b>0\end{align}\right.$$ 의 해가 $x>p$이다. 1) $a,b,c$ 는 모두 0 이상임을 보여라. 2) $a,b,c$ 중 적어도 하나는 0임을 보여라. 3) $p=0$ 임을 보여라. 생각해보기) 언뜻 보기에 막연해 보일수 있는 연립 부등식이지만, 부분문제를 잘 따라가면서 $a, b, c$의 범위를 점차 제한해 가다보면 부등식이 간단해짐을 알 수 있다. 그리고 부등식문제를 푸는 과정에서 부등식을 이차함수의 그래프로서 생각하면 좀 더 수월할 것 같다. 풀이) 1) $x > p$ 라는 연립 부등식의 해는 세 부등식이 모두 성립하는 공통 범위이다. 만..

좌표평면 위의 포물선 $y=x^2-2x+4$ 에 대해 $x \geq 0$인 부분을 $C$라고 하자. (1) 점 $P$가 $C$위의 동점일 때, 반직선 $OP$가 지나는 영역을 그리시오. (2) 직선 $l : y=ax$에 대해 다음 조건을 만족하는 실수 $a$의 범위를 구하여라. 조건 : $C$위의 점 $A$와 $l$위의 점 $B$와 원점 $O$가 정삼각형을 이루는 경우가 있다. 생각해보기) 정삼각형이 되려면 세 변 혹은 세 각이 같음을 보여야한다. 그런데 지금 우리가 가진 $B$라는 점은 직선 $y=ax$위의 점이기 때문에 길이 문제로 부터 자유롭다! ( 원하는길이를 선택할 수 있음) 그러니까 두 반직선 $OA$, $OB$가 이루는 각도만 $60^{\circ}$가 되도록 문제를 세팅해서 풀면 된다...

좌표평면 위에 8개의 직선 $$x = a \quad ( a = 1, 2, 3, 4),$$ $$y = b \quad ( b = 1, 2, 3, 4)$$ 과 16개의 점 $$(a,b) \quad (a=1, 2, 3, 4, b=1, 2, 3, 4)$$ 이 있다. 이 중에서 각 조건을 만족하는 서로 다른 5개의 점을 고르는 방법을 구하시오. (1) 8개의 직선 중에서 선택된 점을 하나도 가지지 않는 직선이 딱 2개 존재한다. (2) 8개의 직선 모두 적어도 하나의 선택된 점을 포함한다. 생각해보기) 개인적으로 경우의 수 문제는 수학이라기 보다 퍼즐에 가깝다고 보는데, 어떻게든 공식을 쓰려고 혈안이 되지말고 꼼꼼히 잘 세는 것에만 충실하면 된다고 생각한다. 당연히 어려운 문제일수록 한 방에 세어서 답을 구하는 문..

좌표평면 위에 곡선 $$C :y=x^3-3ax^2+b \quad (a>0,b>0)$$ 가 아래의 두 조건을 만족한다. 조건 1 : $C$는 $x$축에 접한다. 조건 2 : $x$축과 $C$로 둘러싸인 영역 안에 $x,y$좌표가 모두 정수인 점은 1개 뿐이다. (경계선 위의 점은 제외) 이 때, $b$를 $a$로 나타내고, $a$의 범위를 구하여라. 생각해보기) 어렵게 나오는 경우도 종종 있는 '격자점' 문제이다. 하지만 이 문제는 조건을 만족하는 단 하나의 점이 $(0,1)$일 수 밖에 없다는 사실이 다소 쉽게 밝혀지는 문제이다. 풀이) 먼저 $f(x)$를 미분하고 증감표를 그려서 그래프의 개형을 알아보자. $f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)$에서 극댓값 $f(0)=b$ 가 양수이므로 $f(x)..

항등식 $x^4+bx+c = (x^2 +px+q)(x^2-px+r)$에 대한 다음 물음에 답하여라. (1) $p \neq 0$ 일 때, $q,r$ 을 $p,b$로 나타내시오. (2) $p \neq 0$와 상수 $a$에 대해 $b,c$가 $$b=(a^2 +1)(a+2), \quad c=- (a+\cfrac{3}{4})(a^2+1)$$ 를 만족할 때, $$\{p^2 -(a^2+1)\}\{p^4+f(a)p^2+g(a)\}=0$$ 을 만족하는 두 다항식 $f(t),g(t)$를 구하시오. (3) 정수 $a$에 대한 4차식 $$x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+\cfrac{3}{4})(a^2+1)$$ 이 유리수 계수의 두 이차식의 곱으로 인수분해될 때의 $a$를 모두 구하시오. 생각해보기) 지금 우리나라의 교..