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실수 $a$와 양의 정수 $b$에 대하여 함수 $f(x)=x^2 +2(ax+b|x|)$의 최솟값 $m$을 구하여라. 그리고 $a$의 값이 변할 때, $a$를 $x$축, $m$을 $y$축으로 하는 그래프를 그리시오. 생각해보기 고1 수학에 해당하는 이차함수의 최솟값에 관한 문제지만, 문자가 많이 등장해서 쉽지 않다. 다행히 $b$는 양의 고정된 상수이다. 절댓값이 있기 때문에 $x$의 범위를 나누는 것 까진 좋은데, 각 경우에 대해서 $a,b$의 관계를 고려해야 하는 것이 관건이다. 풀이 $x \geq 0$ 일 때 $$f(x) = x^2 +2(ax+bx)=(x+a+b)^2 -(a+b)^2$$ 의 꼭짓점의 $x$ 좌표는 $-a-b$이고, 이것이 $x \geq 0$의 범위에 들어갈 조건은 $-a-b \geq..

$ab0)$에 그은 두 접선의 교점을 각각 $Q\left(s,\cfrac{1}{s}\right),R\left(t,\cfrac{1}{t}\right)$이라고 하자. $(s0, y>0$ 부분 위를 움직일 때, $\cfrac{t}{s}$의 최솟값과 그 때의 $a,b$의 값을 구하여라. 생각해보기) 2) $\cfrac{t}{s}$를 정리 할 때, 루트 부분 전체를 치환하는 과정이 가장 중요하다고 생각한다. 자칫 처음 형태에서 분모의 유리화를 하는 식으로 진행해버리면, 나눗셈의 미분법을 증감표를 작성할 수 있을진 몰라도 계산이 만만치 않을 것 같다. (필자는 해보지 않아서 잘 모르겠음) 조금 복잡하다싶은 미분을 해야될 경우엔 적절히 치환해서 처리하는 습관을 들이면 좋을 것 같다. ( 물론 치환시에 범위 체크는 필..

실수 $a$와 포물선 $C:y=x^2$에 대해 다음 물음에 답하여라. 1) 점 $A(a,-1)$을 지나는 $C$의 접선은 2개 있음을 보여라. 2) 점 $A(a,-1)$에서의 접선과 $C$의 접점을 각각 $P,Q$라 하자. 직선 $PQ$의 방정식은 $y=2ax+1$임을 보여라. 3) 점 $A(a,-1)$와 직선 $y=2ax+1$ 사이의 거리를 $L$이라고 할 때, $L$의 최솟값을 구하여라. 생각해보기) 기본에 충실하면 해결할 수 있는 문제들이다. 2)의 경우 $P,Q$의 $x$좌표를 미지수로 잡고 근과 계수를 적용시키는 연습이 필요하다. 3) 역시 $L$이나 $L^2$를 힘들게 미분해서 답을 찾을 수도 있지만, 최솟값문제는 미분 이전에 산술-기하평균을 적용시킬 수 있는지 먼저 체크 하는 습관을 들이자...

$y=\cfrac{1}{2}(x^2+1)$ 위의 한 점 $P$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $Q$라고 할 때, 선분 $PQ$ 길이의 최솟값을 구하여라. 생각해보기) 간단한 풀이가 따로 있는 문제가 아니다. 계산 실수에 유의하며 미분을 잘 하는 수 밖에 없다. 굳이 팁이라면 선분 $PQ$의 길이를 점과 점 사이의 거리를 이용해서 구하기보다, 기울기를 이용한 닮음으로 구하면 조금 간단해진다 정도랄까? 풀이) 주어진 함수의 그래프가 $y$축 대칭이므로, 우리는 일반성을 잃지않고 $P$의 $x$좌표 $p$를 양수라고 생각해도 무방하다. $y'=x$이므로 $P$에서의 접선의 방정식은 $y=p(x-p)+\cfrac{1}{2}(p^2+1)=px-\cfrac{p^2}{2}+{1}{2}$이고, $Q$의 $x$좌표..