후플 Math

다음의 정적분을 계산하시오. $$\int ^1 _0 \left( x^2 +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx$$ 생각해보기 어짜피 전개를 하지 않고는 다음 단계로 나아갈 수 없다. 전개 후에는 각 항 별로 따로 적분할 수 있다. 물론 적절히 치환적분을 사용해야 되지만, 그 방법이 전형적이다. 풀이 $$\begin{align}&\int ^1 _0 \left( x^2 +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx\\=& \int ^1 _0 \left(x^2 + \cfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^..

부등식 $$|x| +|y| \leq 1$$ 의 영역을 $D$라 하자. 점 $P$, $Q$가 영역 $D$ 위를 움직일 때, $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}$를 만족하는 점 $R$의 자취의 영역을 $E$라 하자. (1) 영역 $D$, $E$를 각각 그리시오. (2) 실수 $a$, $b$에 대해, 부등식 $$|x-a| +|y-b| \leq 1$$ 의 영역을 $F$라 하자. 점 $S$, $T$가 영역 $F$ 위를 움직일 때, $\overrightarrow{OU}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OT}$를 만족하는 점 $U$의 자취의 영역을 $G$라 하자. 이때, $G$와 $E$가 일치함을 보이시오. ..

정팔각형의 꼭짓점을 반시계 방향으로 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$라 하자. 또, 앞뒤가 나올 확률이 같은 동전이 하나 있다. 점 $P$가 최초에 점 $A$에 위치하고 있고, 다음의 시행을 10회 반복한다. 시행 : 동전을 던져 앞면이 나오면 점 $P$를 반시계방향으로 한 칸 움직이고, 뒷면이 나오면 시계방향으로 한 칸 움직인다. 이때, 다음의 두 사건을 생각하자. 사건 $S$ : 10번의 시행 후에 점 $P$가 점 $A$에 위치한다. 사건 $T$ : 10번의 시행을 하는 동안에 점 $P$가 적어도 한 번 점 $F$에 위치한다. (1) 사건 $S$가 일어날 확률을 구하시오. (2) 사건 $S$와 사건 $T$가 둘 다 일어날 확률을 구하시오. 생각해보기 (1)은 사건 ..

좌표평면에서 점 $A(2,2)$를 지나고 선분 $OA$에 수직인 직선을 $l$이라고 하자. 점 $P(p,q)$가 다음의 두 조건을 만족시키면서 움직인다. 조건 1 : $8\leq \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP} \leq 17$ 조건 2 : 점 $O$와 직선 $l$의 거리를 $c$, 점 $P(p,q)$와 직선 $l$의 거리를 $d$라고 할 때, $cd \geq (p-1)^2$ 이때, $P$가 움직인 영역을 $D$, $x$축의 양의 방향과 선분 $OP$가 이루는 각도를 $\theta$라 하자. (1) $D$를 나타내고, 그 넓이를 구하여라. (2) $\cos \theta$의 범위를 구하여라. 생각해보기 문제가 길긴하지만, 각각의 조건이 주는 식 자체는 간단하다..

(1) $A>1$일 때, $\theta$에 대한 방정식 $$A\sin2\theta - \sin (\theta +\alpha)=0$$ 은 $0 \leq \theta

좌표공간에서 $xy$-평면 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원이 있다. 이 원을 밑면으로 하고 $(0, 0, 2)$를 꼭짓점으로 하는 원뿔을 $S$라고 하자.(원뿔의 내부도 포함한다.) 점 $A(1, 0 ,2)$에 대한 다음 물음에 답하시오. (1) 점 $P$가 $S$의 밑면 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분을 $T$라 하자. $S$가 평면 $z=1$에 의해 잘린 단면과 $T$가 $z=1$에 의해 잘린 단면을 한 평면 위에 그리시오. (2) 점 $P$가 $S$ 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분의 부피를 구하시오. 생각해보기 입체에 대한 문제는 거의 항상 단면을 살펴봐야한다. 처음부터 (2)를 풀기가 힘들기 때문에 일종의 힌트로 (1)번 문제가 나와있다. 즉, (1)에서..

$n, k$는 $1 \leq k \leq n$을 만족하는 정수이다. $n$개의 정수 $$2^m \qquad (m = 0,1,2,\cdots , n-1)$$ 중 서로 다른 $k$개를 고르고 그것들을 곱하자. $k$개를 고르는 모든 경우의 수에 대해 같은 방법으로 얻은 $_nC_k$개의 정수들의 합을 $a_{n,k}$라 하자. 예를 들어, $$a_{4,3} = 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 + 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^3+ 2^0 \cdot 2^2 \cdot 2^3+ 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 120$$ 이다. 1) 2 이상의 정수 $n$에 대해, $a_{n,2}$를 구하시오. 2) 1 이상의 정수 $n$에 대해, $f_n(x)$를 $$f_n(x) = 1+a_{n..

$-1 \leq t \leq 1$ 인 실수 $t$에 대하여, $$x(t) =(1+t)\sqrt{1+t}$$ $$y(t)=3(1+t)\sqrt{1-t}$$ 라 하고 좌표평면 위의 점 $P(x(t),y(t))$를 생각하자. 1) $-1

한 평면 위의 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있지 않을 때, 그 세 점을 연결한 삼각형의 넓이를 $\triangle PQR$ 이라고 하자. 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있을 때는 $\triangle PQR =0$라고 하자.$\triangle ABC = 1$인 세 점 $A, B, C$가 한 평면 위에 있다. 이 평면 위의 점 $X$가 $$2 \leq \triangle ABX + \triangle BCX + \triangle CAX \leq 3$$ 을 만족하면서 움직일 때, $X$가 움직일 수 있는 영역의 넓이를 구하여라.      생각해보기  주어진 조건이라고는 삼각형의 넓이 밖에 없는 상황이다. 그래서 무작정 좌표를 써서 문제를 풀 수도 없다. 황당한 문제인 것 같지만, 일단 그림을 ..

실수 $a,b,c$에 대한 연립부등식 $$\left\{\begin{align}&ax^2+bx+c>0\\&bx^2+cx+a>0\\&cx^2+ax+b>0\end{align}\right.$$ 의 해가 $x>p$이다. 1) $a,b,c$ 는 모두 0 이상임을 보여라. 2) $a,b,c$ 중 적어도 하나는 0임을 보여라. 3) $p=0$ 임을 보여라. 생각해보기) 언뜻 보기에 막연해 보일수 있는 연립 부등식이지만, 부분문제를 잘 따라가면서 $a, b, c$의 범위를 점차 제한해 가다보면 부등식이 간단해짐을 알 수 있다. 그리고 부등식문제를 푸는 과정에서 부등식을 이차함수의 그래프로서 생각하면 좀 더 수월할 것 같다. 풀이) 1) $x > p$ 라는 연립 부등식의 해는 세 부등식이 모두 성립하는 공통 범위이다. 만..