후플 Math

실수 $a$에 대해, 좌표평면 위의 점 $(0,a)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 $C$라고 하자.1) $C$가 부등식 $y>x^2$을 만족시키도록 하는 $a$의 범위를 구하시오.2) $a$가 1)에서 구한 범위를 만족한다고 하자. $C$에서 $x \geq 0$이고 $y       생각해보기  문제 1)은 직교좌표계로써 부등식을 세우면 $y$의 범위가 $a$에 따라 달라지기 때문에 판별식으로 해결하기에 설명이 좀 더 길어질 느낌이다. 역시 원 위의 점은 삼각함수를 이용해서 표현하자. 문제2)를 해석해보자. $P$가 움직이면 $L_P$가 변하는데, 이게 같은 값을 가지는 경우가 언제인지를 묻고 있다. $L_P$에 대한 함수를 구하고 미분을 통해 그래프 개형을 파악해 보자.         풀이..

반지름 1인 구 위의 네 점 $A,B,C,D$가$$AB=1, AC=BC, AD=BD,\\ \cos{\angle ACB}=\cos{\angle ADB}=\cfrac{4}{5}$$를 만족하고 있다. (i) 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오. (ii) 사면체 $ABCD$의 부피를 구하시오. 생각해보기 '문과' 시험인데도 불구하고 공간좌표가 시험범위라는 사실이 굉장히 낯설게 느껴집니다. 도쿄대 문과생들에게는 공간지각능력도 요구되는 모양입니다. (i)에서 $ABC$의 넓이를 구하는 것은 어렵지 않습니다. (i)을이용하여 (ii)에서 부피를 구해야 되니까, 점 $D$에서 평면 $ABC$까지의 거리를 구하는 것이 관건이 되겠네요. 공간도형 문제는 항상 평면화하여 해결합시다! 사실 공간지각능력따윈 중요하지 않을지도 ..

검은 구슬 3개, 빨간 구슬 4개, 흰 구슬 5개가 들어있는 상자에서, 구슬을 한 개씩 꺼내어 순서대로 일렬로 나열하자. 단, 상자에서 각각의 구슬을 고를 확률은 같다. (i) 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않을 확률 $p$를 구하시오. (ii) 어떤 빨간 구슬도 이웃하지 않을 때, 어떤 검은 구슬도 이웃하지 않을 조건부 확률 $q$를 구하시오. 생각해보기 (i)의 유형은 교과서에서도 매우 자주 나오는 친숙한 유형이다. 하지만 (ii)처럼 두 종류가 모두 이웃하지 않는 경우는 흔치않다. 복잡한 경우의 수 문제의 경우 케이스를 잘게 쪼갤 수록 각각의 계산은 수월해지는 경우가 많다. 생각하길 두려워하지 말고, 먼저 2종류의 구슬을 나열해놓고 남은 한 종류의 구슬을 끼워넣는 방법을 생각해보자! 풀이 (i) 먼저 ..

(i) 양의 정수 $k$에 대해, $A_k$를 다음 정적분의 값으로 정의하자. $$A_k =\int^{\sqrt{(k+1)\pi}}_{\sqrt{k\pi}}|\sin(x^2)|dx$$ 이때, 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $$\cfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leq A_k \leq \cfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$$ (ii) 양의 정수 $n$에 대해, $B_n$을 다음 정적분의 값으로 정의하자. $$B_n=\cfrac{1}{\sqrt n}\int^{\sqrt{2n\pi}}_{\sqrt{n\pi}}|\sin(x^2)|dx$$ 이때, $\lim\limits_{n \to \infty}B_n$을 구하시오. 생각해보기 (i)은 먼저 적절한 치환적분을 통해 주어진 정적분의 형태를 바꿔야..

좌표평면 위의 곡선 $y=3x^2-4x$를 $C$, 직선 $y=2x$를 $l$이라 하자. 실수 $t$에 대해, 포물선 $C$ 위의 점 $P(t,3t^2-4t)$에서 직선 $l$까지의 거리를 $f(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (i) 실수 $a$의 범위가 $-1 \leq a \leq 2$일 때, 다음 정적분을 구하시오. $$ g(A)= \int^a_{-1}f(t)dt$$ (ii) 실수 $a$의 범위가 $0 \leq a \leq 2$일 때, $g(a)-f(a)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오. 생각해보기 '거리'와 같은 물리량은 항상 양수라는 사실을 인지하고 있어야합니다. 그에 따라 미지수의 범위를 잘 나눠주기만 한다면 크게 어려운 문항은 아닙니다. 풀이 (i) 점 $P$에서 직선 $ l : 2x-..

2보다 큰 실수 $k$에 대한 이차방정식 $x^2+x-k=0$의 두 실근을 $\alpha , \beta$라 하자. 이때, $$ \cfrac{\alpha ^3}{1-\beta} + \cfrac{\beta ^3}{1-\alpha}$$ 의 최솟값을 구하시오. 생각해보기 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용해 준식을 $k$에 대한 분수식으로 고칠 수 있습니다. 이제 최솟값을 구하는 문제가 남는데, 식의 형태를 보면 어떤 방법을 쓰면 좋을지가 보입니다! 그리고 최솟값/최댓값을 묻는 문제에서는, 특별한 말이 없더라도 그때의 $k$값까지 구하는 습관을 기릅시다. 풀이 이차방정식 $x^2+x-k=0$의 판별식은 $D=1+4k$ 이므로 $k>2$에서 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다. 준식이 대칭식이므로, 이차방정식의..

복소수 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$와 실수 $a, b$가 다음의 세 조건을 만족하면서 움직인다. 조건 1 : $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$는 서로 다르다. 조건 2 : $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$는 4차 방정식 $z^4-2z^3-2az+b=0$의 근이다. 조건 3 : $\alpha \beta + \gamma \delta$의 실수부는 0이고, 허수부는 0이 아니다. (1) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ 중 2개는 실수이고, 나머지 2개는 서로 켤레복소수임을 보이시오. (2) $b$를 $a$로 나타내시오. (3) $\alpha +\beta$가 취할 수 있는..

아래의 각 문제에 답하시오. (1) $x$에 대한 방정식 $$x^{2n-1} =\cos x $$는 단 하나의 실근 $a_n$을 가짐을 보이시오. (단, $n$은 1 이상의 정수) (2) (1)의 $a_n$에 대해 $\cos a_n > \cos 1 $임을 보이시오. (3) (1)에서 구한 수열 $\left\{ a_n \right\}$에 대해, $$\begin{align} &a= \lim_{n->\infty} a_n \\&b=\lim_{n->\infty}a_n ^n \\&c=\lim_{n->\infty}\cfrac{a_n ^n -b}{a_n -a}\end{align}$$ 생각해보기 (1), (2) 의 경우에는 두 함수의 그래프를 그려서 비교해도 쉽게 알 수 있습니다. (3)의 경우에 부정형의 극한인 $c$를..

1이상의 정수 $n$에 대하여 (1) $n^2 +1 $과 $5n^2+9$의 최대공약수 $d_n$을 구하시오. (2) $(n^2+1)(5n^2+9)$은 정수의 제곱이 될 수 없음을 보이시오. 생각해보기 우리나라의 정규 교과 내용은 아니지만 kmo 등의 교육을 받은 학생들에게는 매우 익숙한 "유클리드 호제법"이 사용됩니다. 수능과는 전혀 관계가 없는 공식(?)이지만, 고등수학(상)의 나머지정리 파트에서는 종종 사용될 수 있으니, 관심있는 학생들은 검색해서 익혀둬도 좋을 것 같습니다. (2)의 경우 식을 전개하다보면 '당연한 거 아니야?' 라고 말만하고 넘어가는 경우가 제법 있습니다. 하지만 수학적으로 증명하지 않으면 아무런 효력이 없기 때문에 끝까지 엄밀히 증명을 해보시길 추천합니다. 풀이 (1) $5n^2..

좌표공간에 5개의 점 $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(-2,0,0)$, $D(0,-2,0)$, $E(0,0,-2)$가 있다. 선분 $AB$의 중점 $M$과 선분 $AD$의 중점 $N$을 지나고, 직선 $AE$에 평행한 평면을 $\alpha$라 하자. 또, $2