후플 Math

(1) $A>1$일 때, $\theta$에 대한 방정식 $$A\sin2\theta - \sin (\theta +\alpha)=0$$은 $0 \leq \theta

좌표공간에서 $xy$-평면 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원이 있다. 이 원을 밑면으로 하고 $(0, 0, 2)$를 꼭짓점으로 하는 원뿔을 $S$라고 하자.(원뿔의 내부도 포함한다.) 점 $A(1, 0 ,2)$에 대한 다음 물음에 답하시오. (1) 점 $P$가 $S$의 밑면 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분을 $T$라 하자. $S$가 평면 $z=1$에 의해 잘린 단면과 $T$가 $z=1$에 의해 잘린 단면을 한 평면 위에 그리시오. (2) 점 $P$가 $S$ 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분의 부피를 구하시오. 생각해보기 입체에 대한 문제는 거의 항상 단면을 살펴봐야한다. 처음부터 (2)를 풀기가 힘들기 때문에 일종의 힌트로 (1)번 문제가 나와있다. 즉, (1)에서..

$n, k$는 $1 \leq k \leq n$을 만족하는 정수이다. $n$개의 정수 $$2^m \qquad (m = 0,1,2,\cdots , n-1)$$ 중 서로 다른 $k$개를 고르고 그것들을 곱하자. $k$개를 고르는 모든 경우의 수에 대해 같은 방법으로 얻은 $_nC_k$개의 정수들의 합을 $a_{n,k}$라 하자. 예를 들어, $$a_{4,3} = 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 + 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^3+ 2^0 \cdot 2^2 \cdot 2^3+ 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 120$$이다. 1) 2 이상의 정수 $n$에 대해, $a_{n,2}$를 구하시오. 2) 1 이상의 정수 $n$에 대해, $f_n(x)$를 $$f_n(x) = 1+a_{n..

$-1 \leq t \leq 1$ 인 실수 $t$에 대하여,$$x(t) =(1+t)\sqrt{1+t}$$ $$y(t)=3(1+t)\sqrt{1-t}$$라 하고 좌표평면 위의 점 $P(x(t),y(t))$를 생각하자. 1) $-1

한 평면 위의 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있지 않을 때, 그 세 점을 연결한 삼각형의 넓이를 $\triangle PQR$ 이라고 하자. 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있을 때는 $\triangle PQR =0$라고 하자.$\triangle ABC = 1$인 세 점 $A, B, C$가 한 평면 위에 있다. 이 평면 위의 점 $X$가$$2 \leq \triangle ABX + \triangle BCX + \triangle CAX \leq 3$$을 만족하면서 움직일 때, $X$가 움직일 수 있는 영역의 넓이를 구하여라.      생각해보기  주어진 조건이라고는 삼각형의 넓이 밖에 없는 상황이다. 그래서 무작정 좌표를 써서 문제를 풀 수도 없다. 황당한 문제인 것 같지만, 일단 그림을 ..

실수 $a,b,c$에 대한 연립부등식 $$\left\{\begin{align}&ax^2+bx+c>0\\&bx^2+cx+a>0\\&cx^2+ax+b>0\end{align}\right.$$ 의 해가 $x>p$이다. 1) $a,b,c$ 는 모두 0 이상임을 보여라. 2) $a,b,c$ 중 적어도 하나는 0임을 보여라. 3) $p=0$ 임을 보여라. 생각해보기) 언뜻 보기에 막연해 보일수 있는 연립 부등식이지만, 부분문제를 잘 따라가면서 $a, b, c$의 범위를 점차 제한해 가다보면 부등식이 간단해짐을 알 수 있다. 그리고 부등식문제를 푸는 과정에서 부등식을 이차함수의 그래프로서 생각하면 좀 더 수월할 것 같다. 풀이) 1) $x > p$ 라는 연립 부등식의 해는 세 부등식이 모두 성립하는 공통 범위이다. 만..

1) 실수 $a$에 대한 방정식 $x-\tan x=a$의 해 중에서 $|x|

자연수 $n$과 $t \geq 1$인 실수 $t$에 대해 다음 물음에 답하시오. 1) $x \geq t$ 일 때 다음 부등식이 성립함을 보이시오. $$-\cfrac{(x-t)^2}{2} \leq \log x - \log t - \cfrac{1}{t}(x-t) \leq 0$$ 2) 다음 부등식이 성립함을 보여라. $$- \cfrac{1}{6n^3} \leq \int_{t}^{t+ \frac{1}{n}}\log x dx - \cfrac{1}{n}\log t - \cfrac{1}{2tn^2}\leq 0$$ 3)$$ a_n= \sum_{k=0}^{n-1}\log \left( 1+\cfrac{k}{n}\right)$$ 일 때, $ \displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(a_n -pn)=q$..

정수 $a, b, c$에 대한 다음 조건(*)이 주어져 있다. $$\int_a^c (x^2+bx)dx=\int_b^c (x^2+ax)dx \quad (*)$$ 1) 정수 $a, b, c$가 조건 (*)를 만족하고 $a \neq b$이면 $c$는 3의 배수임을 보여라. 2) $c=3600$ 일 때, 조건 (*)와 $a

한 평면위에 있지 않은 4점 $O, A, B, C$가 있다. 실수 $0