후플 Math

좌표평면 위의 포물선 $y=x^2-2x+4$ 에 대해 $x \geq 0$인 부분을 $C$라고 하자. (1) 점 $P$가 $C$위의 동점일 때, 반직선 $OP$가 지나는 영역을 그리시오. (2) 직선 $l : y=ax$에 대해 다음 조건을 만족하는 실수 $a$의 범위를 구하여라. 조건 : $C$위의 점 $A$와 $l$위의 점 $B$와 원점 $O$가 정삼각형을 이루는 경우가 있다. 생각해보기) 정삼각형이 되려면 세 변 혹은 세 각이 같음을 보여야한다. 그런데 지금 우리가 가진 $B$라는 점은 직선 $y=ax$위의 점이기 때문에 길이 문제로 부터 자유롭다! ( 원하는길이를 선택할 수 있음) 그러니까 두 반직선 $OA$, $OB$가 이루는 각도만 $60^{\circ}$가 되도록 문제를 세팅해서 풀면 된다...

좌표평면 위에 8개의 직선 $$x = a \quad ( a = 1, 2, 3, 4),$$ $$y = b \quad ( b = 1, 2, 3, 4)$$ 과 16개의 점 $$(a,b) \quad (a=1, 2, 3, 4, b=1, 2, 3, 4)$$ 이 있다. 이 중에서 각 조건을 만족하는 서로 다른 5개의 점을 고르는 방법을 구하시오. (1) 8개의 직선 중에서 선택된 점을 하나도 가지지 않는 직선이 딱 2개 존재한다. (2) 8개의 직선 모두 적어도 하나의 선택된 점을 포함한다. 생각해보기) 개인적으로 경우의 수 문제는 수학이라기 보다 퍼즐에 가깝다고 보는데, 어떻게든 공식을 쓰려고 혈안이 되지말고 꼼꼼히 잘 세는 것에만 충실하면 된다고 생각한다. 당연히 어려운 문제일수록 한 방에 세어서 답을 구하는 문..

좌표평면 위에 곡선 $$C :y=x^3-3ax^2+b \quad (a>0,b>0)$$ 가 아래의 두 조건을 만족한다. 조건 1 : $C$는 $x$축에 접한다. 조건 2 : $x$축과 $C$로 둘러싸인 영역 안에 $x,y$좌표가 모두 정수인 점은 1개 뿐이다. (경계선 위의 점은 제외) 이 때, $b$를 $a$로 나타내고, $a$의 범위를 구하여라. 생각해보기) 어렵게 나오는 경우도 종종 있는 '격자점' 문제이다. 하지만 이 문제는 조건을 만족하는 단 하나의 점이 $(0,1)$일 수 밖에 없다는 사실이 다소 쉽게 밝혀지는 문제이다. 풀이) 먼저 $f(x)$를 미분하고 증감표를 그려서 그래프의 개형을 알아보자. $f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)$에서 극댓값 $f(0)=b$ 가 양수이므로 $f(x)..

항등식 $x^4+bx+c = (x^2 +px+q)(x^2-px+r)$에 대한 다음 물음에 답하여라. (1) $p \neq 0$ 일 때, $q,r$ 을 $p,b$로 나타내시오. (2) $p \neq 0$와 상수 $a$에 대해 $b,c$가 $$b=(a^2 +1)(a+2), \quad c=- (a+\cfrac{3}{4})(a^2+1)$$ 를 만족할 때, $$\{p^2 -(a^2+1)\}\{p^4+f(a)p^2+g(a)\}=0$$ 을 만족하는 두 다항식 $f(t),g(t)$를 구하시오. (3) 정수 $a$에 대한 4차식 $$x^4+(a^2+1)(a+2)x-(a+\cfrac{3}{4})(a^2+1)$$ 이 유리수 계수의 두 이차식의 곱으로 인수분해될 때의 $a$를 모두 구하시오. 생각해보기) 지금 우리나라의 교..

양의 실수 $\alpha$와 $0 \leq \theta \leq \pi$ 위의 함수 $f(\theta)$를 두 점 $A(-\alpha,-3), P(\theta + \sin {\theta}, \cos {\theta})$ 사이의 거리의 제곱으로 정의하자. (1) $00$이고, $\gamma< \theta < \pi$에서는 $f'(\theta)

(1) 양의 정수 $A, B$ 와 양의 홀수 $K, L$ 이 $KA=LB$를 만족한다. 그리고 $K$를 4로 나눈 나머지와 $L$을 4로 나눈 나머지가 같다. 이 때, $A$를 4로 나눈 나머지와 $B$를 4로 나눈 나머지가 같음을 보여라. (2) 양의 정수 $a,b$ ($a> b$) 와 $A=_{4a+1} C_{4b+1}$,$B = _{a} C_{b}$에 대해 $KA=LB$ 를 만족하는 양의 홀수 $K, L$ 이 존재함을 보여라. (3) 양의 정수 $a, b$ $(a> b)$ 에 대해 $a-b$가 2로 나누어 떨어지면, $_{4a+1} C_{4b+1}$ 을 4로 나눈 나머지와 $_aC_b$ 를 4로 나눈 나머지가 같음을 보여라. (4) $_{2021} C_{37}$ 을 4로 나눈 나머지를 구하여라. 생..

생각해보기) 그냥 평범한 계산문제이다. (2) 문제는 기하학적 의미라던가 그런걸 묻는 것 처럼 보이지만, 그냥 계산 문제인 것 같다. 풀이)

생각해보기 ) 2) 의 경우 단지 복소수로써 f(2)의 값을 구하려고 하면 잘 되지 않는데 이를 벡터의 합으로써 생각할 수 있다면 매우 쉽게 해결할 수 있다. 풀이)

생각해보기) 먼저 그래프의 영역을 그리는 공간이 (1)은 ab-평면, (2)는 xy-평면 임에 유의 하여야 한다. (1)은 이차함수의 근의 분리를 통해 쉽게 구할 수 있는데, (1) 에서 구한 'ab-평면 위의 영역'으로부터 (2)를 위한 'xy-평면 위의 자취'를 구해야 하는 문제이다. 풀이) 이상의 4가지 경우를 xy 평면 위에 그리면 아래와 같이 된다.

5 이상의 자연수 N이 있다. 1 부터 2N 까지의 자연수 중 1을 포함하여 서로 다른 N개의 수를 골라 집합 S를 만들자. 각 조건을 만족하는 집합 S의 경우의 수를 구하여라. 1) S는 연속하는 2개의 자연수 쌍을 갖지 않는다. 2) S는 연속하는 N-2 개의 자연수 쌍을 적어도 하나 포함한다. 생각해보기) 경우의 수 문제이지만 전체 개수가 미지수인 경우이다. 처음부터 일반적인 case를 생각하기가 쉽지 않으므로, 작은 N에 대한 special case를 먼저 생각해보자. 가장 작은 N=5 인 경우를 생각해보면, OXOOOXOX OXOXOOOX OOOXOXOX OOOXOOX OOXOOOX 위와 같이 5가지 case 를 생각할 수 있고, 각 case마다 X를 적절하게 넣는 경우의 수만 생각하면 되는 것..