후플 Math

$ab0)$에 그은 두 접선의 교점을 각각 $Q\left(s,\cfrac{1}{s}\right),R\left(t,\cfrac{1}{t}\right)$이라고 하자. $(s0, y>0$ 부분 위를 움직일 때, $\cfrac{t}{s}$의 최솟값과 그 때의 $a,b$의 값을 구하여라. 생각해보기) 2) $\cfrac{t}{s}$를 정리 할 때, 루트 부분 전체를 치환하는 과정이 가장 중요하다고 생각한다. 자칫 처음 형태에서 분모의 유리화를 하는 식으로 진행해버리면, 나눗셈의 미분법을 증감표를 작성할 수 있을진 몰라도 계산이 만만치 않을 것 같다. (필자는 해보지 않아서 잘 모르겠음) 조금 복잡하다싶은 미분을 해야될 경우엔 적절히 치환해서 처리하는 습관을 들이면 좋을 것 같다. ( 물론 치환시에 범위 체크는 필..

실수 $a$와 포물선 $C:y=x^2$에 대해 다음 물음에 답하여라. 1) 점 $A(a,-1)$을 지나는 $C$의 접선은 2개 있음을 보여라. 2) 점 $A(a,-1)$에서의 접선과 $C$의 접점을 각각 $P,Q$라 하자. 직선 $PQ$의 방정식은 $y=2ax+1$임을 보여라. 3) 점 $A(a,-1)$와 직선 $y=2ax+1$ 사이의 거리를 $L$이라고 할 때, $L$의 최솟값을 구하여라. 생각해보기) 기본에 충실하면 해결할 수 있는 문제들이다. 2)의 경우 $P,Q$의 $x$좌표를 미지수로 잡고 근과 계수를 적용시키는 연습이 필요하다. 3) 역시 $L$이나 $L^2$를 힘들게 미분해서 답을 찾을 수도 있지만, 최솟값문제는 미분 이전에 산술-기하평균을 적용시킬 수 있는지 먼저 체크 하는 습관을 들이자...

1) 2이상의 정수 $n$에 대해 $3^n-2^n$이 소수이면 $n$도 소수임을 보여라. 2) 1이상의 상수 $a$에 대해 미분 가능한 함수 $f(x)$가 $f(a)=af(1)$을 만족하면, $y=f(x)$는 원점을 지나는 접선을 가짐을 보여라. 생각해보기) 1) 이 문제와 같이 주어진 명제를 그 자체로 증명하기 힘들 땐, 동치인 대우명제를 생각해보면 된다. 그리고 많은 경우에 문제가 쉬워지는걸 볼 수 있을 것이다. 2) 뭔가 평균값정리를 쓴다는 것 까진 감이 왔다면 반은 해결한 것이다. 문제는 평균값정리를 적용할 함수 $g(x)$를 찾는 것인데, 결국 이런 류의 문제를 많이 풀어보고 주어진 조건의 모양을 잘 살펴볼 수 밖에 없다. 풀이) 1) 대우 명제 $n$이 소수가 아니면 $3^n-2^n$이 소수가..

좌표평면 위에 두 점 $B(-\sqrt3, -1), C(\sqrt3,-1)$와 $y$좌표가 양수고 $\angle BAC= \cfrac{\pi}{3}$를 만족하는 점 $A$가 있다. 1) $\triangle ABC$의 외심의 좌표를 구하여라. 2) 점 $A$가 조건을 만족하면서 움직일 때, 수심의 자취의 방정식을 구하여라. 생각해보기) 1) 두 점 $B,C$가 $y$축에 대해 대칭이기 때문에 외심의 정의로 부터 외심이 $y$축 위에 있음을 알 수 있다. 2) 구하고자 하는 자취인 수심의 좌표를 $(X,Y)$로 두고 $X,Y$에 대한 관계식을 찾는 전형적인 문제이다. 또는 중학교 수준의 도형지식만으로도 해결할 수 있으니 관심있으시면 해보시길 바란다. (지름에 대한 원주각이 만들어 내는 직각과 수선이 만들어 ..

곡선 $y=\log(1+\cos x) \quad (0 \leq x \leq \cfrac{\pi}{2})$ 의 길이를 구하여라. 생각해보기) 곡선의 길이를 구하는 공식은 모두 알고 있을 것이다. 문제는 피적분함수를 간단한 형태로 변형하는 것인데, 이번 문제에서 사용한 반각공식, 부분분수는 아주 많이 사용되는 테크닉이니 반드시 잘 익혀둬야한다. 풀이) $f(x) =\log(1+\cos x)$에 대한 곡선의 길이는 $$\int_0^{\pi/2} \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$ 이다. 먼저 피적분함수를 간단히 해보자. $$\begin{align} &\sqrt{1+(f'(x))^2} \\ &=\sqrt{1+(\cfrac{-\sin x}{1+ \cos x})^2} \\&= \cfrac{\sqrt{2+2\c..

무한급수 $$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\cfrac{1}{2}\right)^n\cos \cfrac{n\pi}{6}$$ 를 계산하여라. 생각해보기) 그냥 $\cos$의 12주기를 이용해서 풀려고 하는순간 문제가 심각해지기 시작한다. 사실 이 문제를 보자마자 복소수의 실수부분 + 드 무아브르 정리가 한 번에 떠오르기란 쉽지 않은 것 같다. 이번 기회에 다시 한 번 잘 알아놓도록 하자! 풀이) 무한급수의 부분합을 $S_n =\displaystyle\sum_{k=0}^n \left( \cfrac{1}{2}\right)^k \cos \cfrac{k\pi}{6}$이라 하고 극한값을 구하자. 또, $z = \cfrac{1}{2}\left(\cos \cfrac{\pi}{6}+i\sin\cfrac{\p..

$y=\cfrac{1}{2}(x^2+1)$ 위의 한 점 $P$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $Q$라고 할 때, 선분 $PQ$ 길이의 최솟값을 구하여라. 생각해보기) 간단한 풀이가 따로 있는 문제가 아니다. 계산 실수에 유의하며 미분을 잘 하는 수 밖에 없다. 굳이 팁이라면 선분 $PQ$의 길이를 점과 점 사이의 거리를 이용해서 구하기보다, 기울기를 이용한 닮음으로 구하면 조금 간단해진다 정도랄까? 풀이) 주어진 함수의 그래프가 $y$축 대칭이므로, 우리는 일반성을 잃지않고 $P$의 $x$좌표 $p$를 양수라고 생각해도 무방하다. $y'=x$이므로 $P$에서의 접선의 방정식은 $y=p(x-p)+\cfrac{1}{2}(p^2+1)=px-\cfrac{p^2}{2}+{1}{2}$이고, $Q$의 $x$좌표..

1) 공간상의 세 점 $A(1,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,2)$을 지나는 평면 $\alpha$에 대해 점 $P(1,1,1)$와 대칭인 점 $Q$의 좌표를 구하여라. 2) 빨간색, 흰색, 파란색, 노란색의 구슬이 1개씩 들어있는 상자가 있다. 하나를 뽑아서 기록한 뒤 다시 상자에 넣는다. $n$번째에 최초로 빨간색 구슬이 나왔고, 그 때 나머지 색은 모두 기록되어 있을 확률을 구하여라. 생각해보기) 1), 2) 모두 교과서에 나옴직한 문제로 보인다. 어려운 문제를 해결하는 능력도 가지면 좋지만, 무엇보다도 기본문제들을 망설임없이 풀어내는 능력이 우선 되어야 한다고 생각한다. 풀이) 1) 먼저 구하고자 하는 점 $Q$의 좌표를 $(p,q,r)$이라 하자. 문제의 가정으로 부터 $\overrig..

$p$가 소수면 $p^4+14$는 소수가 아님을 보이시오. 생각해보기) 우리나라의 일반 수험생들 입장에서는 잘 보지못한 생소한 문제일 것 이다. '정수의 분류' 라고 해서 모든 정수를 특정 수로 나눈 나머지를 기준으로 나눌 수 있다. 대표적인것이 짝수(2로 나눈 나머지 0), 홀수(2로 나눈 나머지 1)로의 분류이고, 이 문제에서는 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2인 세 그룹으로 소수를 분류하여 문제를 쉽게 풀어냈다. (물론 3으로 나눈 나머지가 0인 그룹은 3의 배수로 소수가 아니기 때문에 본 풀이에서 다루지 않았다.) 풀이) 소수 $p=3$이면 $p^4+14=95$는 소수가 아니다. 이제 $p \neq 3$ 인 경우에 $p=3q+r$ 로 둘 수 있다. ($r$= 1 or 2) $p^2 = (3q+r..

공간 위의 8점 $$O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0)$$ $$D(0,0,3),E(1,0,3),F(1,2,3),G(0,2,3)$$ 으로 이루어진 직육면체 $OABC-DEFG$에서 점 $O$, 점 $F$, 선분 $AE$ 위의 점 $P$, 선분 $CG$위의 점 $Q$가 한 평면 위에 있다. 이 때, 사각형 $OPFQ$의 넓이가 최소가 되는 $P,Q$와 그 때의 넓이 를 구하여라. 생각해보기) 공간도형 문제라는 것 자체로 겁 먹을 수 있을 지도 모른다. 하지만, 주어진 점의 좌표를 이용해 구하고자 하는 점 $P, Q$도 좌표를 세워서 접근하면 그리 특별한 문제가 아님을 알 수 있다. 풀이) 점 $P, Q$의 좌표는 각각 $(1, 0, p), (0, 2, q)$라 쓸 수 있다. $(..