후플 Math

양의 정수 $p$에 대해 다음의 방정식 $x^2 -2px-1=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하자. $|\alpha|>1$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 모든 양의 정수 $n$에 대해, $\alpha ^n +\beta ^n$는 짝수임을 증명하시오. (2) $\displaystyle \lim _{n \to \infty} (-\alpha)^n \sin (\alpha ^n \pi)$를 구하시오. 생각해보기 (1) 같은 경우는 귀납법을 써서 증명하자는 생각만 할 수 있다면, 간단히 식을 변형하며 증명해낼 수 있다. 진짜 문제는 (2)이다. 분명 문제의 가정에서 $|\alpha| >1$이라 했는데, 그러면 $\alpha ^n$는 무한대로 발산할 것이고, $\sin$과 곱한다고 해서 특..

실수 $a, b$와 $z$에 대한 다음의 방정식 $$z^3 +3az^2 +bz +1 =0 \qquad (\star)$$ 의 서로 다른 세 근이 복소평면 상에서 한 변의 길이가 $\sqrt 3 a$인 정삼각형을 이룬다. 이때, $a, b$와 $(\star)$의 세 근을 모두 구하시오. 생각해보기 고등수학 (상)의 내용으로부터 $(\star)$는 실수 계수의 3차 방정식이기 때문에 반드시 실근이 존재한다. 그리고 나머지 두 근은 문제의 조건을 부터 켤레복소수일 수 밖에 없다. 따라서 처음 세 근을 $\alpha , \beta , \gamma$가 아닌 $\alpha , \beta , \bar{\beta}$로 두고 시작할 수 있다. 풀이 $(\star)$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\bar{..

홀수 $a$와 정수 $m, n$에 대해, $$f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8$$이 16으로 나누어 떨어지는 정수 쌍 $(m,n)$이 존재하기 위한 $a$의 조건을 구하시오. 생각해보기 $a$는 홀수로 $m,n$은 정수로 주어졌으니 제일 먼저 체크할 것은 '$m,n$의 홀짝은 어떻게 될까?' 이다. 16으로 나누어떨어진다는 것을 너무 어렵게 생각하지 않아도 될 것 같다. 단지 2로 3번 나누어도 남은 수는 짝수임이 보장된다는 것이다. (더 어렵게 말했을 수도... ?) 풀이 $f(m,n)=(m+1)n^2+am^2+8$가 16으로 나누어떨어진다고 가정하자. $m$이 홀수이면 $(m+1)n^2+8$은 짝수, $am^2$은 홀수이므로 $f(m,n)$은 홀수가 되고 16으로 나누어떨어질 수 없다. $m$..

$x$에 대한 2차 함수 중 $y=x^2$과 2점에서 '직교' 하는 함수를 모두 구하시오. 여기서 2차 함수가 직교한다는 말은 두 교점에서의 접선이 직교한다는 의미이다. 생각해보기 일반화시키는 문제로 낯설긴하지만, 직교한다는 맥락에서 사용할 수 있는 것은 기울기의 곱이 -1이라는 것 정도 뿐이므로 그 사실을 이용해 차근차근 조건들을 정리해보면 해결할 수 있는 문제이다. 풀이 $y = ax^2 +bx+c$가 $y=x^2$과 직교한다고 하자.$(a \neq 0)$ 이때, 두 함수의 교점의 $x$좌표를 $\alpha , \beta$라 하자. 즉 $\alpha , \beta$는 $$ax^2 +bx+c=x^2$$의 서로 다른 두 실근이므로, $a \neq 1$이고 $b^2-4(a-1)c>0$이 성립한다. 두 교점..

곡선 $C:y=|x|x-3x+1$와 직선 $l:y=x+a$의 그래프가 접하게 되는 음의 실수 $a$의 값을 구하시오. 그리고 이 때, $C$와 $l$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. 생각해보기 루트가 들어가는 마지막 적분 계산 실수 정도만 하지 않는다면, 무난히 풀 수 있는 문제일 것이다. 풀이 $x \geq 0$ 일 때, $y=x^2-3x+1=\left(x- \cfrac{3}{2}\right)^2- \cfrac{5}{4}$ $x < 0$ 일 때, $y=-x^2-3x+1=-\left(x+ \cfrac{3}{2}\right)^2+ \cfrac{13}{4}$ 이므로 그래프를 그려보면 아래와 같다. $a$가 음수이기 때문에 $l$이 접하는 함수는 $x \geq 0$일 때의 함수이다. $y=x^2-3x+1$..

(1) $A>1$일 때, $\theta$에 대한 방정식 $$A\sin2\theta - \sin (\theta +\alpha)=0$$은 $0 \leq \theta

좌표공간에서 $xy$-평면 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원이 있다. 이 원을 밑면으로 하고 $(0, 0, 2)$를 꼭짓점으로 하는 원뿔을 $S$라고 하자.(원뿔의 내부도 포함한다.) 점 $A(1, 0 ,2)$에 대한 다음 물음에 답하시오. (1) 점 $P$가 $S$의 밑면 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분을 $T$라 하자. $S$가 평면 $z=1$에 의해 잘린 단면과 $T$가 $z=1$에 의해 잘린 단면을 한 평면 위에 그리시오. (2) 점 $P$가 $S$ 위를 움직일 때, 선분 $AP$가 지나는 부분의 부피를 구하시오. 생각해보기 입체에 대한 문제는 거의 항상 단면을 살펴봐야한다. 처음부터 (2)를 풀기가 힘들기 때문에 일종의 힌트로 (1)번 문제가 나와있다. 즉, (1)에서..

$n, k$는 $1 \leq k \leq n$을 만족하는 정수이다. $n$개의 정수 $$2^m \qquad (m = 0,1,2,\cdots , n-1)$$ 중 서로 다른 $k$개를 고르고 그것들을 곱하자. $k$개를 고르는 모든 경우의 수에 대해 같은 방법으로 얻은 $_nC_k$개의 정수들의 합을 $a_{n,k}$라 하자. 예를 들어, $$a_{4,3} = 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 + 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^3+ 2^0 \cdot 2^2 \cdot 2^3+ 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 120$$이다. 1) 2 이상의 정수 $n$에 대해, $a_{n,2}$를 구하시오. 2) 1 이상의 정수 $n$에 대해, $f_n(x)$를 $$f_n(x) = 1+a_{n..

$-1 \leq t \leq 1$ 인 실수 $t$에 대하여,$$x(t) =(1+t)\sqrt{1+t}$$ $$y(t)=3(1+t)\sqrt{1-t}$$라 하고 좌표평면 위의 점 $P(x(t),y(t))$를 생각하자. 1) $-1

한 평면 위의 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있지 않을 때, 그 세 점을 연결한 삼각형의 넓이를 $\triangle PQR$ 이라고 하자. 세 점 $P, Q, R$이 한 직선 위에 있을 때는 $\triangle PQR =0$라고 하자.$\triangle ABC = 1$인 세 점 $A, B, C$가 한 평면 위에 있다. 이 평면 위의 점 $X$가$$2 \leq \triangle ABX + \triangle BCX + \triangle CAX \leq 3$$을 만족하면서 움직일 때, $X$가 움직일 수 있는 영역의 넓이를 구하여라.      생각해보기  주어진 조건이라고는 삼각형의 넓이 밖에 없는 상황이다. 그래서 무작정 좌표를 써서 문제를 풀 수도 없다. 황당한 문제인 것 같지만, 일단 그림을 ..