후플 Math

아래의 각 문제에 답하시오. (1) $x$에 대한 방정식 $$x^{2n-1} =\cos x $$는 단 하나의 실근 $a_n$을 가짐을 보이시오. (단, $n$은 1 이상의 정수) (2) (1)의 $a_n$에 대해 $\cos a_n > \cos 1 $임을 보이시오. (3) (1)에서 구한 수열 $\left\{ a_n \right\}$에 대해, $$\begin{align} &a= \lim_{n->\infty} a_n \\&b=\lim_{n->\infty}a_n ^n \\&c=\lim_{n->\infty}\cfrac{a_n ^n -b}{a_n -a}\end{align}$$ 생각해보기 (1), (2) 의 경우에는 두 함수의 그래프를 그려서 비교해도 쉽게 알 수 있습니다. (3)의 경우에 부정형의 극한인 $c$를..

1이상의 정수 $n$에 대하여 (1) $n^2 +1 $과 $5n^2+9$의 최대공약수 $d_n$을 구하시오. (2) $(n^2+1)(5n^2+9)$은 정수의 제곱이 될 수 없음을 보이시오. 생각해보기 우리나라의 정규 교과 내용은 아니지만 kmo 등의 교육을 받은 학생들에게는 매우 익숙한 "유클리드 호제법"이 사용됩니다. 수능과는 전혀 관계가 없는 공식(?)이지만, 고등수학(상)의 나머지정리 파트에서는 종종 사용될 수 있으니, 관심있는 학생들은 검색해서 익혀둬도 좋을 것 같습니다. (2)의 경우 식을 전개하다보면 '당연한 거 아니야?' 라고 말만하고 넘어가는 경우가 제법 있습니다. 하지만 수학적으로 증명하지 않으면 아무런 효력이 없기 때문에 끝까지 엄밀히 증명을 해보시길 추천합니다. 풀이 (1) $5n^2..

좌표공간에 5개의 점 $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(-2,0,0)$, $D(0,-2,0)$, $E(0,0,-2)$가 있다. 선분 $AB$의 중점 $M$과 선분 $AD$의 중점 $N$을 지나고, 직선 $AE$에 평행한 평면을 $\alpha$라 하자. 또, $2

다음의 정적분을 계산하시오. $$\int ^1 _0 \left( x^2 +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx$$ 생각해보기 어짜피 전개를 하지 않고는 다음 단계로 나아갈 수 없다. 전개 후에는 각 항 별로 따로 적분할 수 있다. 물론 적절히 치환적분을 사용해야 되지만, 그 방법이 전형적이다. 풀이 $$\begin{align}&\int ^1 _0 \left( x^2 +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\left(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx\\=& \int ^1 _0 \left(x^2 + \cfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^..

부등식 $$ |x| +|y| \leq 1 $$의 영역을 $D$라 하자. 점 $P$, $Q$가 영역 $D$ 위를 움직일 때, $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}$를 만족하는 점 $R$의 자취의 영역을 $E$라 하자. (1) 영역 $D$, $E$를 각각 그리시오. (2) 실수 $a$, $b$에 대해, 부등식 $$|x-a| +|y-b| \leq 1$$의 영역을 $F$라 하자. 점 $S$, $T$가 영역 $F$ 위를 움직일 때, $\overrightarrow{OU}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OT}$를 만족하는 점 $U$의 자취의 영역을 $G$라 하자. 이때, $G$와 $E$가 일치함을 보이시오. ..

정팔각형의 꼭짓점을 반시계 방향으로 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$라 하자. 또, 앞뒤가 나올 확률이 같은 동전이 하나 있다. 점 $P$가 최초에 점 $A$에 위치하고 있고, 다음의 시행을 10회 반복한다. 시행 : 동전을 던져 앞면이 나오면 점 $P$를 반시계방향으로 한 칸 움직이고, 뒷면이 나오면 시계방향으로 한 칸 움직인다. 이때, 다음의 두 사건을 생각하자. 사건 $S$ : 10번의 시행 후에 점 $P$가 점 $A$에 위치한다. 사건 $T$ : 10번의 시행을 하는 동안에 점 $P$가 적어도 한 번 점 $F$에 위치한다. (1) 사건 $S$가 일어날 확률을 구하시오. (2) 사건 $S$와 사건 $T$가 둘 다 일어날 확률을 구하시오. 생각해보기 (1)은 사건 ..

좌표평면에서 점 $A(2,2)$를 지나고 선분 $OA$에 수직인 직선을 $l$이라고 하자. 점 $P(p,q)$가 다음의 두 조건을 만족시키면서 움직인다. 조건 1 : $8\leq \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP} \leq 17$ 조건 2 : 점 $O$와 직선 $l$의 거리를 $c$, 점 $P(p,q)$와 직선 $l$의 거리를 $d$라고 할 때, $cd \geq (p-1)^2$ 이때, $P$가 움직인 영역을 $D$, $x$축의 양의 방향과 선분 $OP$가 이루는 각도를 $\theta$라 하자. (1) $D$를 나타내고, 그 넓이를 구하여라. (2) $\cos \theta$의 범위를 구하여라. 생각해보기 문제가 길긴하지만, 각각의 조건이 주는 식 자체는 간단하다..

좌표평면 위의 네 점 $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(1,1)$, $C(0,1)$에 대해 세 점 $P(p,0)$, $Q(0,q)$, $R(r,1)$이 각각 선분 $OA$, $OC$, $BC$ 위에 있다. $\triangle OPQ$, $\triangle PQR$이 모두 넓이가 $\cfrac{1}{3}$인 삼각형일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $q, r$을 $p$로 나타내고, $p$, $q$, $r$의 범위를 구하여라. (2) $\cfrac{CR}{OQ}$의 최댓값과 최솟값을 구하여라. 생각해보기 좌표평면 위의 주어진 점들이 모두 좌표로 표현되어 있으므로, 넓이에 대한 식을 세우는 것이 아주 간단하다. $\triangle PQR$의 넓이의 경우에도 본문에서 처럼 구하지 않더라도, 소위 말하..

세 변의 길이의 합이 2인 삼각형 $ABC$에 대해 변 $BC$의 길이를 $a$, 변 $CA$의 길이를 $b$라 하자. 삼각형 $ABC$를 변 $BC$를 축으로하여 1회전 시킨 입체의 부피를 $V$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (1) $a$를 고정하고 $b$를 변화시킬 때, $V$가 최대가 되는 순간은 삼각형 $ABC$가 밑변을 $BC$로 하는 이등변삼각형일 때임을 보이시오. (2) $a$, $b$를 동시에 변화시킬 때, $V$의 최댓값과 그 때의 $a$, $b$를 각각 구하시오. 생각해보기 삼각형이 나오는 기본 기하 문제에서는 반드시 삼각형의 결정조건을 짚고 넘어가야 한다. 삼각형의 세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라 할 때, 삼각형의 결정조건은 $$a

양의 실수 $t$에 대해, 아래 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 $S(t)$라고 하자. $$x \geq 0,\quad y\geq 0 , \quad xy \leq 1 ,\quad x+y \leq t$$ 이때, $\displaystyle\lim _{t \to \infty}(S(t)-2\log t )$를 구하시오. 생각해보기 우리나라 학생들에게 여전히 낯선 부등식의 영역 문제이다. $t$의 값에 따라 생기는 영역의 모습이 변할까봐 고민하지말자. 어짜피 구하는 극한값은 한없이 큰 $t$에 극한값이므로, 적당히 크고 일반적인 $t$에 대한 그래프의 개형에서 출발하면 충분하다. 풀이 $t>2$에 대해, 주어진 부등식의 영역을 나타낸 그래프는 아래와 같다. 먼저 영역의 경계인 두 식 $xy=1$과 $x+y=t$를..