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쿄토대 수학 23

교토대 2020-2(문과)

x에 대한 2차 함수 중 y=x2과 2점에서 '직교' 하는 함수를 모두 구하시오. 여기서 2차 함수가 직교한다는 말은 두 교점에서의 접선이 직교한다는 의미이다. 생각해보기 일반화시키는 문제로 낯설긴하지만, 직교한다는 맥락에서 사용할 수 있는 것은 기울기의 곱이 -1이라는 것 정도 뿐이므로 그 사실을 이용해 차근차근 조건들을 정리해보면 해결할 수 있는 문제이다. 풀이 y=ax2+bx+cy=x2과 직교한다고 하자.(a0) 이때, 두 함수의 교점의 x좌표를 α,β라 하자. 즉 α,βax2+bx+c=x2의 서로 다른 두 실근이므로, a1이고 b24(a1)c>0이 성립한다. 두 교점..

본고사 2021.07.31

교토대 2020-1(문과)

곡선 C:y=|x|x3x+1와 직선 l:y=x+a의 그래프가 접하게 되는 음의 실수 a의 값을 구하시오. 그리고 이 때, Cl로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. 생각해보기 루트가 들어가는 마지막 적분 계산 실수 정도만 하지 않는다면, 무난히 풀 수 있는 문제일 것이다. 풀이 x0 일 때, y=x23x+1=(x32)254 x<0 일 때, y=x23x+1=(x+32)2+134 이므로 그래프를 그려보면 아래와 같다. a가 음수이기 때문에 l이 접하는 함수는 x0일 때의 함수이다. y=x23x+1..

본고사 2021.07.29

교토대 2021-6(이과)

1) 2이상의 정수 n에 대해 3n2n이 소수이면 n도 소수임을 보여라. 2) 1이상의 상수 a에 대해 미분 가능한 함수 f(x)f(a)=af(1)을 만족하면, y=f(x)는 원점을 지나는 접선을 가짐을 보여라. 생각해보기) 1) 이 문제와 같이 주어진 명제를 그 자체로 증명하기 힘들 땐, 동치인 대우명제를 생각해보면 된다. 그리고 많은 경우에 문제가 쉬워지는걸 볼 수 있을 것이다. 2) 뭔가 평균값정리를 쓴다는 것 까진 감이 왔다면 반은 해결한 것이다. 문제는 평균값정리를 적용할 함수 g(x)를 찾는 것인데, 결국 이런 류의 문제를 많이 풀어보고 주어진 조건의 모양을 잘 살펴볼 수 밖에 없다. 풀이) 1) 대우 명제 n이 소수가 아니면 3n2n이 소수가..

본고사 2021.06.01

교토대 2021-5(이과)

좌표평면 위에 두 점 B(3,1),C(3,1)y좌표가 양수고 BAC=π3를 만족하는 점 A가 있다. 1) ABC의 외심의 좌표를 구하여라. 2) 점 A가 조건을 만족하면서 움직일 때, 수심의 자취의 방정식을 구하여라. 생각해보기) 1) 두 점 B,Cy축에 대해 대칭이기 때문에 외심의 정의로 부터 외심이 y축 위에 있음을 알 수 있다. 2) 구하고자 하는 자취인 수심의 좌표를 (X,Y)로 두고 X,Y에 대한 관계식을 찾는 전형적인 문제이다. 또는 중학교 수준의 도형지식만으로도 해결할 수 있으니 관심있으시면 해보시길 바란다. (지름에 대한 원주각이 만들어 내는 직각과 수선이 만들어 ..

본고사 2021.05.31

교토대 2021-4(이과)

곡선 y=log(1+cosx)(0xπ2) 의 길이를 구하여라. 생각해보기) 곡선의 길이를 구하는 공식은 모두 알고 있을 것이다. 문제는 피적분함수를 간단한 형태로 변형하는 것인데, 이번 문제에서 사용한 반각공식, 부분분수는 아주 많이 사용되는 테크닉이니 반드시 잘 익혀둬야한다. 풀이) f(x)=log(1+cosx)에 대한 곡선의 길이는 π/201+(f(x))2dx 이다. 먼저 피적분함수를 간단히 해보자. $$\begin{align} &\sqrt{1+(f'(x))^2} \\ &=\sqrt{1+(\cfrac{-\sin x}{1+ \cos x})^2} \\&= \cfrac{\sqrt{2+2\c..

본고사 2021.05.30

교토대 2021-3(이과)

무한급수 n=0(12)ncosnπ6 를 계산하여라. 생각해보기) 그냥 cos의 12주기를 이용해서 풀려고 하는순간 문제가 심각해지기 시작한다. 사실 이 문제를 보자마자 복소수의 실수부분 + 드 무아브르 정리가 한 번에 떠오르기란 쉽지 않은 것 같다. 이번 기회에 다시 한 번 잘 알아놓도록 하자! 풀이) 무한급수의 부분합을 Sn=nk=0(12)kcoskπ6이라 하고 극한값을 구하자. 또, $z = \cfrac{1}{2}\left(\cos \cfrac{\pi}{6}+i\sin\cfrac{\p..

본고사 2021.05.30

교토대 2021-2(이과)

y=12(x2+1) 위의 한 점 P에서의 접선이 x축과 만나는 점을 Q라고 할 때, 선분 PQ 길이의 최솟값을 구하여라. 생각해보기) 간단한 풀이가 따로 있는 문제가 아니다. 계산 실수에 유의하며 미분을 잘 하는 수 밖에 없다. 굳이 팁이라면 선분 PQ의 길이를 점과 점 사이의 거리를 이용해서 구하기보다, 기울기를 이용한 닮음으로 구하면 조금 간단해진다 정도랄까? 풀이) 주어진 함수의 그래프가 y축 대칭이므로, 우리는 일반성을 잃지않고 Px좌표 p를 양수라고 생각해도 무방하다. y=x이므로 P에서의 접선의 방정식은 y=p(xp)+12(p2+1)=pxp22+12이고, Qx좌표..

본고사 2021.05.30

교토대 2021-1(이과)

1) 공간상의 세 점 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)을 지나는 평면 α에 대해 점 P(1,1,1)와 대칭인 점 Q의 좌표를 구하여라. 2) 빨간색, 흰색, 파란색, 노란색의 구슬이 1개씩 들어있는 상자가 있다. 하나를 뽑아서 기록한 뒤 다시 상자에 넣는다. n번째에 최초로 빨간색 구슬이 나왔고, 그 때 나머지 색은 모두 기록되어 있을 확률을 구하여라. 생각해보기) 1), 2) 모두 교과서에 나옴직한 문제로 보인다. 어려운 문제를 해결하는 능력도 가지면 좋지만, 무엇보다도 기본문제들을 망설임없이 풀어내는 능력이 우선 되어야 한다고 생각한다. 풀이) 1) 먼저 구하고자 하는 점 Q의 좌표를 (p,q,r)이라 하자. 문제의 가정으로 부터 $\overrig..

본고사 2021.05.30

교토대 2021-5(문과)

p가 소수면 p4+14는 소수가 아님을 보이시오. 생각해보기) 우리나라의 일반 수험생들 입장에서는 잘 보지못한 생소한 문제일 것 이다. '정수의 분류' 라고 해서 모든 정수를 특정 수로 나눈 나머지를 기준으로 나눌 수 있다. 대표적인것이 짝수(2로 나눈 나머지 0), 홀수(2로 나눈 나머지 1)로의 분류이고, 이 문제에서는 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2인 세 그룹으로 소수를 분류하여 문제를 쉽게 풀어냈다. (물론 3으로 나눈 나머지가 0인 그룹은 3의 배수로 소수가 아니기 때문에 본 풀이에서 다루지 않았다.) 풀이) 소수 p=3이면 p4+14=95는 소수가 아니다. 이제 p3 인 경우에 p=3q+r 로 둘 수 있다. (r= 1 or 2) $p^2 = (3q+r..

본고사 2021.05.29

교토대 2021-4(문과)

공간 위의 8점 O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0) D(0,0,3),E(1,0,3),F(1,2,3),G(0,2,3) 으로 이루어진 직육면체 OABCDEFG에서 점 O, 점 F, 선분 AE 위의 점 P, 선분 CG위의 점 Q가 한 평면 위에 있다. 이 때, 사각형 OPFQ의 넓이가 최소가 되는 P,Q와 그 때의 넓이 를 구하여라. 생각해보기) 공간도형 문제라는 것 자체로 겁 먹을 수 있을 지도 모른다. 하지만, 주어진 점의 좌표를 이용해 구하고자 하는 점 P,Q도 좌표를 세워서 접근하면 그리 특별한 문제가 아님을 알 수 있다. 풀이) 점 P,Q의 좌표는 각각 (1,0,p),(0,2,q)라 쓸 수 있다. $(..

본고사 2021.05.28
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