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실수 $a,b,c$에 대해 다음 명제가 성립하기 위한 $a$, $c$의 필요충분조건을 구하시오. 그리고 $(a,c)$의 범위를 그리시오. 명제 : 모든 실수 $b$에 대해서 부등식 $ax^2 +bx+c

실수 $a$와 양의 정수 $b$에 대하여 함수 $f(x)=x^2 +2(ax+b|x|)$의 최솟값 $m$을 구하여라. 그리고 $a$의 값이 변할 때, $a$를 $x$축, $m$을 $y$축으로 하는 그래프를 그리시오. 생각해보기 고1 수학에 해당하는 이차함수의 최솟값에 관한 문제지만, 문자가 많이 등장해서 쉽지 않다. 다행히 $b$는 양의 고정된 상수이다. 절댓값이 있기 때문에 $x$의 범위를 나누는 것 까진 좋은데, 각 경우에 대해서 $a,b$의 관계를 고려해야 하는 것이 관건이다. 풀이 $x \geq 0$ 일 때 $$f(x) = x^2 +2(ax+bx)=(x+a+b)^2 -(a+b)^2$$ 의 꼭짓점의 $x$ 좌표는 $-a-b$이고, 이것이 $x \geq 0$의 범위에 들어갈 조건은 $-a-b \geq..

다음의 물음에 각각 답하시오. 1) $x$에 대한 다항식 $x^5 +2x^4+ax^3+3x^2+3x+2$를 다항식 $x^3+x^2+x+1$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 하자. $R(x)$의 1차항의 계수가1 일 때, 실수 $a$의 값을 구하고 $Q(x)$와 $R(x)$를 구하여라. 2) $8.94^{18}$의 정수부분은 몇 자리 수인가? 그리고 이때 앞에서부터 두 수를 구하시오. (예를 들어 12345.6789의 앞에서부터 두 수는 12이다.) 생각해보기 문제 1)은 다항식을 직접 나눗셈함으로써 쉽게 해결할 수 있다. 문제 2)의 자릿수나 맨 앞에 오는 수를 묻는 문제는 많이 봤을텐데, 두 번째 수를 묻는 경우는 생소할 것이라 생각된다. 하지만 맨 앞의 수를 구하는 방법과 ..

$xz$ 평면 상의 곡선 $$z= \sqrt{\log(1+x)} \quad (0 \leq x\leq 1)$$ 을 $z$축을 축으로 1회전 시킨 곡면을 $S$라 하자. 이 $S$를 $x$축을 축으로 1회전 시킨 입체도형을 $V$라 할 때, $V$의 부피를 구하시오. 생각해보기 혹자는 회전시킨 도형을 다시 한 번 회전시켜서 부피를 구하라고 해서 지레 겁 먹을지도 모르겠다. 요즘 우리나라 고등학교 적분문제들을 봐도 회전체의 부피를 구하는 문제가 확실히 많이 줄어든 것 같아 더 그럴 것 이다. 하지만 사실 회전체의 부피를 구하는 문제는, 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면적만 구할 수 있다면 단순 계산이 돼버리는 경우가 많다. 필자의 컴퓨터 능력이 좋았다면 3D 애니메이션을 동원해서 회전체의 모습을 보여주..

가로 4칸, 세로 4칸의 4 $\times$ 4의 보드판을 1, 2, 3, 4의 네 숫자들로 채우자. 이 보드판의 가로를 '행', 세로를 '열'이라고 할 때, 모든 행 또는 열에 1, 2, 3, 4 가 정확히 한 번씩 들어가도록 하는 방법의 경우의 수를 구하시오. 생각해보기 개인적으로 아주 반가운 문제이다. 스도쿠를 좋아하는 필자 입장에서 이 문제는 4$\times 4$ 스도쿠의 가짓수를 묻는 것과 비슷해서인데... (물론 주어진 상황만 비슷할 뿐 실제 스도쿠의 가짓수랑은 차이가 크다.) 기쁜 마음은 제쳐두고, 이 문제는 숫자들이 한 번 씩만 들어간다는 조건을 사용하면 마치 수형도를 이용하는 풀이와 비슷하게 풀 수 있다. 풀이 보드판의 1행에 가 쓰여져 있다고 가정해보자. 이때, 와 같은 열에 같은 숫자..

양의 정수 $a$가 $$a=3^bc \qquad \text{($b$, $c$는 정수이고 $c$는 3으로 나누어떨어지지 않는다.)}$$ 의 꼴일 때, $B(a)=b$라 정의하자. 예를 들어, $B(3^2\cdot5)=2$이다. 이제 다음 두 조건을 만족하는 정수쌍 $(m, n)$에 대하여 ① $1 \leq m, n \leq 30$ ② $n$은 3으로 나누어떨이지지 않는다. $$f(m,n)=m^3 +n^2 +n+3$$ 라 할 때, $$A(m,n)=B(f(m,n))$$ 의 최댓값을 구하시오. 또 $A(m,n)$이 최댓값을 가질 때의 순서쌍 $(m,n)$을 모두 구하시오. 생각해보기 $B(a)$는 $a$를 소인수분해 하였을 때 나오는 3의 개수를 묻는 함수이다. 귀찮은 문제가 되겠지만, 3으로 나눈 나머지에 따라..

원점 $O$를 중심으로 하고 반지름이 1인 구 위의 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 다음의 관계식을 만족한다. $$ $$\begin{align}&\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=\cfrac{1}{2}\\&\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=-\cfrac{\sqrt 6}{4}\\&\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OD}=k \end{align}$$ ..

양의 정수 $p$에 대해 다음의 방정식 $x^2 -2px-1=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하자. $|\alpha|>1$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 모든 양의 정수 $n$에 대해, $\alpha ^n +\beta ^n$는 짝수임을 증명하시오. (2) $\displaystyle \lim _{n \to \infty} (-\alpha)^n \sin (\alpha ^n \pi)$를 구하시오. 생각해보기 (1) 같은 경우는 귀납법을 써서 증명하자는 생각만 할 수 있다면, 간단히 식을 변형하며 증명해낼 수 있다. 진짜 문제는 (2)이다. 분명 문제의 가정에서 $|\alpha| >1$이라 했는데, 그러면 $\alpha ^n$는 무한대로 발산할 것이고, $\sin$과 곱한다고 해서 특..

실수 $a, b$와 $z$에 대한 다음의 방정식 $$z^3 +3az^2 +bz +1 =0 \qquad (\star)$$ 의 서로 다른 세 근이 복소평면 상에서 한 변의 길이가 $\sqrt 3 a$인 정삼각형을 이룬다. 이때, $a, b$와 $(\star)$의 세 근을 모두 구하시오. 생각해보기 고등수학 (상)의 내용으로부터 $(\star)$는 실수 계수의 3차 방정식이기 때문에 반드시 실근이 존재한다. 그리고 나머지 두 근은 문제의 조건을 부터 켤레복소수일 수 밖에 없다. 따라서 처음 세 근을 $\alpha , \beta , \gamma$가 아닌 $\alpha , \beta , \bar{\beta}$로 두고 시작할 수 있다. 풀이 $(\star)$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\bar{..

홀수 $a$와 정수 $m, n$에 대해, $$f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8$$ 이 16으로 나누어 떨어지는 정수 쌍 $(m,n)$이 존재하기 위한 $a$의 조건을 구하시오. 생각해보기 $a$는 홀수로 $m,n$은 정수로 주어졌으니 제일 먼저 체크할 것은 '$m,n$의 홀짝은 어떻게 될까?' 이다. 16으로 나누어떨어진다는 것을 너무 어렵게 생각하지 않아도 될 것 같다. 단지 2로 3번 나누어도 남은 수는 짝수임이 보장된다는 것이다. (더 어렵게 말했을 수도... ?) 풀이 $f(m,n)=(m+1)n^2+am^2+8$가 16으로 나누어떨어진다고 가정하자. $m$이 홀수이면 $(m+1)n^2+8$은 짝수, $am^2$은 홀수이므로 $f(m,n)$은 홀수가 되고 16으로 나누어떨어질 수 없다. $m$..